Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich soll überprüfen, ob die Reihe konvergiert:
[mm] \bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}
[/mm]
Meine Lösung wäre: [mm] \bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] is divergent. Für alle n>=3 gilt [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-4/n}{n-3+1/n}<\bruch{1}{n} [/mm] und da 1/n divergiert , divergiert ebenfalls die Reihe.
ist das so richtig?
Danke im Voraus =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 So 22.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Da hast du leider Majoranten- und Minorantenkriterium durcheinandergebracht!
Du hast gezeigt: Deine Reihe ist kleiner als die harmonische Reihe, aber das hört sich doch eher so an, als ob deine Reihe dann konvergieren könnte, oder?
Du musst stattdessen eine Reihe finden, die kleiner als deine Reihe ist, die aber divergiert. Dann divergiert erst recht deine Folge, da sie nach noch größer als eine divergierende Folge ist.
Aber die Suche ist auch nicht so schwer, denn die Folge [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] ist kleiner als deine Folge und auch divergent.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Aufgabe | | Aber die Suche ist auch nicht so schwer, denn die Folge $ [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] $ ist kleiner als deine Folge und auch divergent |
Hallo Teufel ^^,
danke für die schnelle Antwort.
Also, muss ich jetzt einfach nur [mm] \bruch{1-4/n}{n-3+1/n} >\bruch{1}{2n} [/mm] hinschreiben? Da die Folge 1/2n divergiert, divergiert die Reihe ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 22.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
Aber nein, die Folge [mm] a_n=\bruch{1}{2n} [/mm] divergiert nicht (ist ja eine Nullfolge), aber [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] divergiert.
Du müsstest jetzt nur noch nachweisen, dass deine Folge größer als [mm] a_n [/mm] ist (kannst du sicher auch so abschätzen wie am Anfang). Also [mm] \bruch{n-4}{n^2-3n+1}>... [/mm] Du musst auch nicht genau auf [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] kommen. [mm] \bruch{1}{10n} [/mm] oder so etwas tut es auch.
Auf alle Fälle läuft es darauf hinaus:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}<\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] und da [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] divergiert und deine Summe noch größer ist, divergiert diese auch gegen [mm] \infty.
[/mm]
Wichtig ist noch, dass du immer zwischen der Reihe selbst und der Folge unterscheidest. Die Folgen sind meistens eh Nullfolgen, aber bei den Reihen musst du immer schauen, ob diese konvergieren oder divergieren.
Teufel
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| Aufgabe | Auf alle Fälle läuft es darauf hinaus:
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}<\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] $ und da $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] $ divergiert und deine Summe noch größer ist, divergiert diese auch gegen $ [mm] \infty. [/mm] $ |
Achsoooooo,
ist das so jetzt richtig?
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-4}{x^{2}-3n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-4/n}{n-3+1/n}> \bruch{1-4/n}{n+1/n}>1/2n
[/mm]
muss ich das hier auch noch dazuschreiben?
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}<\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] $ und da $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] $ divergiert, divergiert die Reihe auch gegen $ [mm] \infty. [/mm] $
ich hoffe ich hab das jetzt richtig gemacht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
um sicherzugehen: im ersten post hast du nur ne Folge hingeschrieben. ich hoffe, du meinst nicht die, sondern wirklich die Reihe, also die Summe über deine [mm] a_n
[/mm]
Wenns wirklich die Reihe ist, musst du die natürlich aufschreiben, und sagen, weil die harmonische Reihe divergiert.
Wenns nur um die Folge [mm] x_n [/mm] geht, die konvergiert gegen 0.
also steht in der Aufgabe ne Summe?
Gruss leduart
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Hallo,
ich meinte die Reihe und nicht die Folge ^^
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}
[/mm]
Also muss ich schreiben
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}=\bruch{1-4/n}{n-3+1/n}> \bruch{1-4/n}{n+1/n}>1/2n
[/mm]
und weil [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] divergiert , divergiert auch diese Reihe [mm] \bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm]
stimmt das jetzt? :-/
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Hallo Matheproof,
> Hallo,
> ich meinte die Reihe und nicht die Folge ^^
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm]
>
> Also muss ich schreiben
>
> [mm]\red{\summe_{i=1}^{\infty}}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}=\bruch{1-4/n}{n-3+1/n} \cdots [/mm]
Nee, die Summe gehört da nicht hin. Du rechnest gerade am einzelnen Folgenglied herum, weil Du ja mit einer divergenten Minorante vergleichen willst.
[mm] \bruch{1-4/n}{n-3+1/n}>\bruch{1-4/n}{n+1/n}\red{>}1/2n
[/mm]
Die rote Relation stimmt doch nicht allgemein, sondern erst ab n=5. Hast Du das schon irgendwo gezeigt?
> und weil [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm] divergiert ,
> divergiert auch diese Reihe [mm]\blue{\summe_{i=1}^{\infty}}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm]
Hier gehört die Summe jetzt aber unbedingt hin!
> stimmt das jetzt? :-/
Ist Dir der Unterschied zwischen Folgen und Reihen klar? Es sieht nicht so aus, aber vielleicht arbeitest Du ja auch gerade nur schlampig.
lg
reverend
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so, jetzt nochmal ganz von vorne ^^
ich soll diese Reihe : [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] auf Konvergenz überprüfen.
Die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] ist divergent, denn für alle n [mm] \ge [/mm] 5 gilt
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-4/n}{n-3+1/n}> \bruch{1-4/n}{n+1/n}>1/2n [/mm]
und da [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] divergiert , divergiert [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1} [/mm]
Der Unterschied zwischen Folgen und Reihen ist mir klar, ich hab das Summenzeichen nur vergessen =)
Aber jetzt ist das doch richtig, oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> so, jetzt nochmal ganz von vorne ^^
>
> ich soll diese Reihe :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm] auf Konvergenz
> überprüfen.
>
> Die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm] ist
> divergent, denn für alle n [mm]\ge[/mm] 5 gilt
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1-4/n}{n-3+1/n}> \bruch{1-4/n}{n+1/n}>1/2n[/mm]
Das gilt erst für n [mm] \ge [/mm] 6 !!
>
> und da [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm] divergiert ,
> divergiert [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm]
>
> Der Unterschied zwischen Folgen und Reihen ist mir klar,
> ich hab das Summenzeichen nur vergessen =)
Dann schreib oben überall [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] statt [mm] \summe_{i=1}^{\infty}
[/mm]
FRED
>
> Aber jetzt ist das doch richtig, oder??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Matheproof |
Vielen Dank für die Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 23.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred, hallo Matheproof,
> > denn für alle n [mm]\ge[/mm] 5 gilt
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n-4}{n^{2}-3n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-4/n}{n-3+1/n}> \bruch{1-4/n}{n+1/n}>1/2n[/mm]
>
>
> Das gilt erst für n [mm]\ge[/mm] 6 !!
Nee, auch nicht. Zugegeben, meins war auch falsch.
richtig ist: das gilt erst für [mm] n\ge{9}
[/mm]
Grüße
reverend
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ich hab mich da vertan:
also es müsst heißen [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] und nicht n=1...aber
dadurch ändert sich ja nichts oder??
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Für den Nachweis der Konvergenz nicht. Da interessiert sowieso nur das Verhalten im Unendlichen. Darum ist es auch nicht so wesentlich, ob Deine Ungleichungen für [mm] n\ge [/mm] 5,6 oder 9 gelten, Hauptsache, sie gelten ab einem bestimmten [mm] n_i [/mm] immer.
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also, gilt das jetzt für alle n>=9?
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Rechne es nach. In diesem Fall ist das Ergebnis ja nicht durch Abstimmung zu erzielen.
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