Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 29.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind, bzw. für welches [mm] x\in \IR [/mm] die konvergent sind:
(i) [mm] \summe_{^n=1}^{\infty} \bruch {{(n+1)}^n}{n^{n+1}}
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{^n=1}^{\infty} 2^n (1+\bruch{1}{n})^n x^n [/mm] |
Hallo,
ich wollte fragen, ob ich bei (i) das Quotientenkriterium anwenden kann?
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind,
> bzw. für welches [mm]x\in \IR[/mm] die konvergent sind:
>
> (i) [mm]\summe_{^n=1}^{\infty} \bruch {{(n+1)}^n}{n^{n+1}}[/mm]
>
> (ii) [mm]\summe_{^n=1}^{\infty} 2^n (1+\bruch{1}{n})^n x^n[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich wollte fragen, ob ich bei (i) das Quotientenkriterium
> anwenden kann?
Mein Tipp: Probier es doch einfach aus!
Prinzipiell darfst du jedes Kriterium auf jede Reihe anwenden (solange die Voraussetzungen erfüllt sind). Da das Quotientenkriterium erstmal grundsätzlich keine Voraussetzungen an die Reihe stellt, kasnnst du es also bedenkenlos probieren und dir mal
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$
[/mm]
anschauen. Ich glaube, wenn man es geschickt anstellt, müsste das Quotientenkriterium funktionieren.
Grüße,
Stefan
PS.: Befindet sich in der ersten Reihe kein x? Dann wäre die Aufgabenstellung etwas komisch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 29.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ja in der ersten Reihe befindet sich kein x
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 29.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
mit dem Quotientenkriterium habe ich jetzt [mm] |\bruch{(n+2)^{n+1}*n^{n+1}}{(n+1)^{n+2}*(n+1)^n}|=\bruch{9}{16}
[/mm]
daraus folgt 0<9/16<1 und somit ist das Kriterium erfüllt.
stimmt das?
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Hallo melisa1,
> mit dem Quotientenkriterium habe ich jetzt
> [mm]|\bruch{(n+2)^{n+1}*n^{n+1}}{(n+1)^{n+2}*(n+1)^n}|=\bruch{9}{16}[/mm]
>
> daraus folgt 0<9/16<1 und somit ist das Kriterium
> erfüllt.
Zugegebenermaßen bin ich erstaunt ob dieses Ergebnisses.
In meinem Ausdruck befinden sich nach der Umformung noch einige n's, wie hast du die alle wegbekommen 
Mit anderen Worten: Nein, dein Ergebnis ist leider falsch. Bitte poste deine Zwischenrechnungen. Dein erster Schritt ist noch richtig:
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{(n+2)^{n+1}*n^{n+1}}{(n+1)^{n+2}*(n+1)^n}\right|$
[/mm]
Nun "schenke" ich dir noch zwei Schritte:
$ = [mm] \left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{(n+1)^{2n+2}}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{\left[(n+1)^{2}\right]^{n+1}}\right| [/mm] = ...$
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 29.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
[mm] \left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{(n+1)^{2n+2}}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{\left[(n+1)^{2}\right]^{n+1}}\right| [/mm] = [mm] |\bruch{(n^2+2n)^2}{((n+1)^2)^2}|=|\bruch{n^4+4n^3+4n^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|=|\bruch{4}{6+4n}|=|\bruch{1}{6n}|
[/mm]
stimmt es nun :S
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> [mm]\left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{(n+1)^{2n+2}}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{\left[(n+1)^{2}\right]^{n+1}}\right|[/mm]
> = [mm][mm] |\bruch{(n^2+2n)^2}{((n+1)^2)^2}|
[/mm]
Was genau tust du hier, wieso setzt du für (n+1) plötzlich 2 ein? Wir dürfen nicht einfach etwas einsetzen, und kürzen kannst du hier nichts (zumindest sehe ich nichts, lasse mich aber gern vom Gegenteil überzeugen).
Du bist nun an der Stelle:
[mm] $\left|\bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{\left[(n+1)^{2}\right]^{n+1}}\right| [/mm] = [mm] \bruch{(n^{2}+2*n)^{n+1}}{\left(n^{2} + 2*n + 1\right)^{n+1}} [/mm] = [mm] \left(\bruch{n^{2}+2*n}{n^{2} + 2*n + 1}\right)^{n+1}$
[/mm]
Mittlerweile ist das Geheimnis ja schon raus: Wir werden es irgendwie hinbekommen, zu sagen, dass dieser Ausdruck ab einem bestimmten n sicher kleiner als 1 ist.
Allerdings ist das gar nicht so einfach. Denn die Basis konvergiert gegen 1 für n gegen unendlich, und der ganze Ausdruck konvergiert auch gegen 1.
Damit ist das Quotientenkriterium doch nicht zu gebrauchen, um diese Aufgabe zu lösen, tut mir leid für die falsche Fährte.
Im Moment bin ich mir gar nicht mehr so sicher, ob diese Reihe überhaupt konvergiert, wenn ich zum Beispiel bis 1000 summiere kommt schon fast 19 raus.
Also sollten wir uns vielleicht darauf konzentrieren, die Divergenz zu zeigen, das geht aber meist nur mit dem Minorantenkriterium gut, mir fällt aber gerade nichts ein - deswegen lasse ich die Frage mal offen.
An dieser Stelle wäre nun noch die Frage an dich sinnvoll, ob ihr vielleicht schon ähnliche Reihen hattet und was für Konvergenzkriterien ihr schon hattet.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 So 29.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
Was genau tust du hier, wieso setzt du für (n+1) plötzlich 2 ein? Wir dürfen nicht einfach etwas einsetzen, und kürzen kannst du hier nichts (zumindest sehe ich nichts, lasse mich aber gern vom Gegenteil überzeugen).
ich hab hier gekürzt ich dachte ich darf n kürzen und deshalb 1+1=2 :S
wir hatten bis jetzt das Cauchy- Quotienten- Leibniz- und Majoranten- bzw. Minorantenkriterium
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
mir ist nun doch was eingefallen.
Es ist
[mm] $\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} [/mm] > [mm] \frac{n^{n}}{n^{n+1}} [/mm] = ...$
Schlussfolgere daraus mit dem Minorantenkriterium und der Divergenz der harmonischen Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} [/mm] die Divergenz deiner Reihe.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 29.11.2009 | | Autor: | Melda |
also ich muss die selbe Aufgabe lösen und habe das Majoranten-Kriterium angewant und habe :
[mm] \left( \bruch{1}^{n}{1}^{n+1} \right)
[/mm]
und die harmonische Reihe besagt, dass wenn die Reihe divergent ist trotzdem noch konvergiert also konvergiert sie auch in diesem Fall
stimmt das so ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 So 29.11.2009 | | Autor: | Melda |
sry es sollte [mm] (\bruch{1^n}{1^{n+1}}) [/mm] heißen
Gruß Melda
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Hallo Melda,
> also ich muss die selbe Aufgabe lösen und habe das
> Majoranten-Kriterium angewant und habe :
> [mm]\left( \bruch{1}^{n}{1}^{n+1} \right)[/mm]
>
> und die harmonische Reihe besagt, dass wenn die Reihe
> divergent ist trotzdem noch konvergiert also konvergiert
> sie auch in diesem Fall
> stimmt das so ??
Ich würde sagen: Nein. Um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht einmal ganz genau, was du als Leser mir mit den letzten vier Zeilen sagen willst.
Die harmonische Reihe "besagt" nichts. Die harmonische Reihe, [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} [/mm] divergiert einfach.
Was etwas besagt, ist das Minorantenkriterium.
Das sagt nämlich, wenn ich eine divergente Reihe habe (zum Beispiel die harmonische Reihe, die Reihenglieder dort sind [mm] \frac{1}{k} [/mm] ), und nun eine Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] habe, wo ich nachweisen kann, dass jedes Reihenglied [mm] a_{k} [/mm] größer ist als das der divergenten Reihe (hier also [mm] \frac{1}{k} [/mm] ), dann ist auch die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] divergent.
Und genau das ist bei dir hier der Fall. Du hast eine Reihe
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$
[/mm]
mit [mm] $a_{k} [/mm] = [mm] \frac{(k+1)^{k}}{k^{k+1}}$, [/mm] und es gilt:
[mm] $a_{k} [/mm] = [mm] \frac{(k+1)^{k}}{k^{k+1}} [/mm] > [mm] \frac{k^{k}}{k^{k+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{k}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
D.h., jedes Reihenglied deiner Reihe ist größer als das der divergenten harmonischen Reihe, damit divergiert deine Reihe nach dem Minorantenkriterium.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 29.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe nochmal eine allgemeine Frage: wie kommt man denn auf die Minorante bzw. Majorante? Kann man da einfach irgend eins nehmen? Wie kommst du zB. auf [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{(k+1)^{k}}{k^{k+1}} [/mm] > [mm] \frac{k^{k}}{k^{k+1}} [/mm] kann ich einfach die eins weglassen und sagen das ist die Minorante?
Ich weiß, es ist wahrscheinlich wieder etwas ziemlich simples, aber ich will es begreifen. Ist es normal, dass man am Anfang nicht drauf kommt? Bin ich zu blöd oder geht es erst mit der Zeit :S
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Hallo melisa1,
erstmal muss natürlich der Entschluss fest stehen, dass man die Divergenz der Reihe beweisen will.
Und dann hilft es auch manchmal, die Reihenglieder einfach mal plotten zu lassen und sich zu überlegen, ob sie eine (einigermaßen) bekannte Funktion wiedergeben, zum Beispiel 1/n.
Aber zugegebenermaßen: Außer [mm] \frac{1}{n} [/mm] und Nicht-Gegen-Null-konvergierende Folgen kenne ich kaum Minoranten, deswegen war das bei mir fast die einzige Möglichkeit 
Und in solchen Aufgaben wird es auch nicht wesentlich komplizierter werden. Wenn du Divergenz zeigen willst, hast du in etwa folgende Möglichkeiten:
- Die Aussage vom Minorantenkriterium mit der harmonischen Reihe und vielleicht noch 1,2 anderen Reihen, die du aber erst mit der Zeit kennen lernen wirst (keiner erwartet, dass du dir plötzlich supertolle nichtkonvergente Reihen selbst ausdenkst, denn deren Divergenz musst du dann ja auch erstmal beweisen...)
- Die Reihenglieder bilden keine Nullfolge
- Die Reihenglieder haben die Form der geometrischen Reihe, also [mm] q^{n}; [/mm] falls du q mit q > 1 abschätzen kannst, ist die Reihe divergent
- Diverse Aussagen aus den Konvergenzkriterien (Cauchy'sches Verdichtungskriterium, ...)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mo 30.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke für deine ausführliche Antwort!
echt super!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind,
> bzw. für welches [mm]x\in \IR[/mm] die konvergent sind:
>
> (i) [mm]\summe_{^n=1}^{\infty} \bruch {{(n+1)}^n}{n^{n+1}}[/mm]
>
> (ii) [mm]\summe_{^n=1}^{\infty} 2^n (1+\bruch{1}{n})^n x^n[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich wollte fragen, ob ich bei (i) das Quotientenkriterium
> anwenden kann?
Mit der Bernoullischen Ungl. erhält man:
[mm] $\bruch {{(n+1)}^n}{n^{n+1}} [/mm] = [mm] (1+1/n)^n*\bruch{1}{n} \ge \bruch{2}{n}$
[/mm]
FRED
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Fr 04.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
>
>
> Mit der Bernoullischen Ungl. erhält man:
>
>
> [mm]\bruch {{(n+1)}^n}{n^{n+1}} = (1+1/n)^n*\bruch{1}{n} \ge \bruch{2}{n}[/mm]
>
Was kann man damit zeigen/sagen bzw was folgt daraus? Konvergenz??
> FRED
> >
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Fr 04.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Jetzt hab' ichs gesehen.
Frage kann als beantwortet markiert werden.
Danke
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach dem Minorantenkriterium ist die Reihe divergent
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 30.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
bei (ii) habe ich das Wurzelkriterium angewendet
[mm] ^n\wurzel{a_n}=|2(1+\bruch{1}{n})x|
[mm] |2x(1+\bruch{1}{n})|
da [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] und 2 immer positiv sind
[mm] 2|x|<\bruch{teta}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] |:2
[mm] |x|<\bruch{teta}{2+\bruch{2}{n}}
[/mm]
teta muss ja zwischen 0 und eins liegen kann ich auch sagen teta ist 1 dann hätte ich
|x|< [mm] \bruch{1}{2+\bruch{2}{n}}<1/2
[/mm]
stimmt das?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Warum gehst Du nicht so vor:
lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|}= [/mm] $2|x| <1$ [mm] \gdw [/mm] $|x|<1/2$
Also hat man absolute Konvergenz für |x|<1/2 und Divergenz für |x|>1/2
Nun untersuche noch den Fall |x| =1/2, also x = [mm] \pm [/mm] 1/2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 30.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ist meine Überlegung falsch oder ist es richtig und das ist jetzt noch eine kürzere variante?
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 02.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
kann mir niemand eine Antwort dazu geben. Es wäre echt nett, weil ich die Übung bald abgeben muss.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ist alles ok so, aber du kannst schon n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen.
Und dann musst du noch, wie schon gesagt, prüfen, was für [mm] x=\pm \bruch{1}{2} [/mm] passiert.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 03.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Warum gehst Du nicht so vor:
>
> lim [mm]\wurzel[n]{|a_n|}=[/mm] [mm]2|x| <1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|x|<1/2[/mm]
>
> Also hat man absolute Konvergenz für |x|<1/2 und Divergenz
> für |x|>1/2
>
> Nun untersuche noch den Fall |x| =1/2, also x = [mm]\pm[/mm] 1/2
>
wie kann ich das mit der divergenz denn zeigen (ich darf das nicht einfach hinschreiben)
und für x=1/2 dachte ich, dass es konvergent ist da es ja zwischen 0 und eins liegt oder gilt das nur beim Quotientenkriterium und beim Wurzelkriterium nicht?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Für |x|=1/2 ist
[mm] $|2^n(1+1/n)^nx^n| [/mm] = [mm] (1+1/n)^n \to [/mm] e [mm] \not=0$ [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Somit ist die Folge der Reihenglieder, also die Folge [mm] $(2^n(1+1/n)^nx^n)$, [/mm] keine Nullfolge und damit ist
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}2^n(1+1/n)^nx^n$
[/mm]
divergent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Fr 04.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
eine Frage hab ich noch:
> Warum gehst Du nicht so vor:
>
> lim [mm]\wurzel[n]{|a_n|}=[/mm] [mm]2|x| <1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|x|<1/2[/mm]
Was ist aus $\ [mm] (1+\frac{1}{n})^n [/mm] $ geworden?
>
> Also hat man absolute Konvergenz für |x|<1/2 und Divergenz
> für |x|>1/2
>
> Nun untersuche noch den Fall |x| =1/2, also x = [mm]\pm[/mm] 1/2
>
> FRED
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo Fred,
>
> eine Frage hab ich noch:
>
> > Warum gehst Du nicht so vor:
> >
> > lim [mm]\wurzel[n]{|a_n|}=[/mm] [mm]2|x| <1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|x|<1/2[/mm]
>
> Was ist aus [mm]\ (1+\frac{1}{n})^n[/mm] geworden?
Na, es ist doch [mm] $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\sqrt[n]{\left|2^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot{}x^n\right|}=|x|\cdot{}\left[2\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]\longrightarrow |x|\cdot{}2\cdot{}\left(1+0\right)=2\cdot{}|x| [/mm] \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] n\to\infty$
[/mm]
usw.
>
> >
> > Also hat man absolute Konvergenz für |x|<1/2 und Divergenz
> > für |x|>1/2
> >
> > Nun untersuche noch den Fall |x| =1/2, also x = [mm]\pm[/mm] 1/2
> >
> > FRED
>
> Grüße
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Fr 04.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Moin schachuzipus,
> Hallo ChopSuey,
>
> > Hallo Fred,
> >
> > eine Frage hab ich noch:
> >
> > > Warum gehst Du nicht so vor:
> > >
> > > lim [mm]\wurzel[n]{|a_n|}=[/mm] [mm]2|x| <1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|x|<1/2[/mm]
> >
> > Was ist aus [mm]\ (1+\frac{1}{n})^n[/mm] geworden?
>
> Na, es ist doch
> [mm]\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\sqrt[n]{\left|2^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot{}x^n\right|}=|x|\cdot{}\left[2\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]\longrightarrow |x|\cdot{}2\cdot{}\left(1+0\right)=2\cdot{}|x| \ \ \text{für} \ n\to\infty[/mm]
Stimmt, natürlich! ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 03.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
>
> teta muss ja zwischen 0 und eins liegen kann ich auch sagen
> teta ist 1 dann hätte ich
>
> |x|< [mm]\bruch{1}{2+\bruch{2}{n}}<1/2[/mm]
>
stimmt diese Zeile?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 04.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn man den Nenner verkleinert, vergrößert man den Bruch.
Gruss leduart
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