Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Mo 21.12.2009 | | Autor: | kch |
| Aufgabe 1 | Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen konvergent sind
a) [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} [/mm] |
a)
Zum einen ist mir aufgefallen, dass für n=1 das Reihenglied gar nicht definiert ist, weil durch 0 geteilt wird (Das ist doch ein Fehler in der Aufgabe, oder?) Ab n=2 gilt
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} [/mm] > [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
[/mm]
Damit ist [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} [/mm] eine Minorante und die Reihe konvergiert nicht.
b)
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty (\frac{3}{n})^n
[/mm]
Anwendung des Wurzelkriteriums liefert dann:
[mm] \wurzel[n]{(\frac{3}{n})^n} [/mm] = [mm] \frac{3}{n} \ge [/mm] 1 für n=1,2,3
ab n=4 ist das Wurzelkriterium erfüllt und daher konvergiert die Reihe
[mm] \sum_{n=4}^\infty \frac{3^n}{n^n}
[/mm]
und da es sich nur um endlich viele Reihenglieder handelt, die nicht berücksichtig werden, konvergiert auch die ganze Reihe
Sind meine Überlegungen richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kch,
> Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen konvergent sind
> a) [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}[/mm]
> b)
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n}[/mm]
> a)
> Zum einen ist mir aufgefallen, dass für n=1 das
> Reihenglied gar nicht definiert ist, weil durch 0 geteilt
> wird (Das ist doch ein Fehler in der Aufgabe, oder?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das ist ein Fehler in der Aufgabe.
> Ab n=2 gilt
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}[/mm] >
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/mm]
> Damit ist
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/mm] eine Minorante und die
> Reihe konvergiert nicht.
Deine Minorante ist aber konvergent! Ihr Grenzwert ist [mm] \bruch{\pi^2}{6}.
[/mm]
Da wirst Du ein anderes Kriterium finden müssen, z.B. eine konvergente Majorante. 
Oder doch eher eine divergente Minorante. Die lässt sich mit einer Indexverschiebung aber leicht finden.
Bedenke, dass [mm] \limes_{k\to \infty}\bruch{\wurzel{n^2-1}}{n}=1 [/mm] ist.
> b)
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n}[/mm] = [mm]\sum_{n=1}^\infty (\frac{3}{n})^n[/mm]
>
> Anwendung des Wurzelkriteriums liefert dann:
> [mm]\wurzel[n]{(\frac{3}{n})^n}[/mm] = [mm]\frac{3}{n} \ge[/mm] 1 für
> n=1,2,3
> ab n=4 ist das Wurzelkriterium erfüllt und daher
> konvergiert die Reihe
> [mm]\sum_{n=4}^\infty \frac{3^n}{n^n}[/mm]
> und da es sich nur um
> endlich viele Reihenglieder handelt, die nicht
> berücksichtig werden, konvergiert auch die ganze Reihe
>
> Sind meine Überlegungen richtig so?
Im Prinzip ja, zu b ist der Aufschrieb noch etwas kraus. Überleg mal, ob Du das noch klarer formulieren kannst. Die Konvergenz ist ja nur im Unendlichen interessant. Wenn die Reihe also ab einem N konvergiert, dann ist sie auch als Ganzes konvergent - wie Du ja auch richtig erkannt hast. Es werden aber alle Reihenglieder "berücksichtigt", obwohl das Wurzelkriterium für n=1,2,3 noch nicht erfüllt ist.
Wie gesagt, es geht mir nur um die Formulierung.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mo 21.12.2009 | | Autor: | kch |
| Aufgabe | | a) Stellen Sie fest, ob [mm] \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \right) [/mm] konvergent ist |
Hallo Reverend, deinen Tipp konnte ich leider nicht verarbeiten, aber nun folgende Überlegung:
[mm] \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} [/mm] >
[mm] \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n} [/mm]
Hierbei handelt es sich um die harmonische Reihe, die divergent ist. Daher divergiert auch die Reihe [mm] \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}
[/mm]
Zu b könnte man etwas schöner schreiben:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 4: [mm] \wurzel[n]{\left( \frac{3}{n} \right)^n} [/mm] < 1 [mm] \rightarrow \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{n} \right)^n [/mm] ist absolut konvergent
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Hallo kch,
da habe ich wohl auch irgendwas gesehen, was gar nicht da ist.
Deine Abschätzung gegen die harmonische Reihe ist vollkommen richtig und genügt.
Korrektoren sehen vielleicht noch gern die Relation [mm] n>\wurzel{n^2-1}, [/mm] aber ich finde, dass man das auch so "sehen" kann.
Die kurze Formulierung der zweiten Aufgabe ist auch gut!
lg
rev
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