Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:21 Di 29.12.2009 | | Autor: | cubix1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^2}{k^2 + \wurzel{k^4 + 1}}
[/mm]
auf Konvergenz.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich wollte mal fragen, ob meine Lösung richtig ist.
Ich habe das Majorantenkriterium angewendet.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^2}{k^2 + \wurzel{k^4 + 1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k - 4 \wurzel{k} + 4}{k^2 + \wurzel{k^4 + 1 }} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k + 4}{k^2} [/mm] = T
Ich wähle T als Majorante und muss noch durch das Quotientenkriterium zeigen, dass sie konvergent ist.
[mm] \bruch{(k + 1) + 4}{(k + 1)^2} \bruch{k^2}{k + 4} [/mm] = [mm] \bruch{k^3 + 5 k^2}{k^3 + 6 k^2 + 9 k + 4} \le [/mm] Q [mm] \le [/mm] 1
Damit ist T konvergent und eine Majorante der oben angegebenen Reihe, welche dadurch ebenfalls konvergent ist.
Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Di 29.12.2009 | | Autor: | Sax |
Hi,
das stimmt so nicht, weil Du kein Q<1 angeben kannst.
Deine T-Reihe besteht aus Summanden der Form 1/k + [mm] 4/k^2, [/mm] die harmonische Reihe divergiert aber.
Gruß Sax
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Di 29.12.2009 | | Autor: | cubix1 |
Kann ich im Zähler nicht einfach eine 1 hinzuaddieren und schon habe ich mein q ?
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Hallo,
> Kann ich im Zähler nicht einfach eine 1 hinzuaddieren und
> schon habe ich mein q ?
Was genau meinst du?
Das $q$ ergibt sich doch als [mm] $\red{\lim\limits_{k\to\infty}}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$
[/mm]
Bei der obigen Anwendung des QK ergibt sich für [mm] $k\to\infty$ [/mm] als GW dann doch $q=1$
Das liefert keine Aussage.
Wie mein Vorredner schon bemerkte, hast du in deiner vorangehenden Abschätzung deine Ausgangsreihe gegen eine divergente Majorante abgeschätzt.
Das ist zwar ne schöne Abschätzungsübung, hilft aber goar nix 
Die Ausgangsreihe ist für große $k$ doch von der Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{k}$, [/mm] also eine div. harmonische Reihe.
Schätze also in die andere Richtung ab, verkleinere deine Ausgangsreihe und schätze gegen eine Variante der harmonischen Reihe ab.
Dazu kannst du den Zähler verkleinern und den Nenner vergrößern.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 03.01.2010 | | Autor: | Franz999 |
Hallo, hat jemand vllt. noch einen Tipp für die Abschätzung gegen eine Minorante? Ich habe es bisher nicht sinnvoll gegen z.B. die harmonische Reihe abschätzen können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 03.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, hat jemand vllt. noch einen Tipp für die
> Abschätzung gegen eine Minorante? Ich habe es bisher nicht
> sinnvoll gegen z.B. die harmonische Reihe abschätzen
> können.
Hallo,
du willst abschätzen gegen die Reihe 1/k.
Dein Zähler [mm] (\wurzel [/mm] k [mm] -2)^2 [/mm] ist etwas unbequem abzuschätzen - behalten wir ihn einfach, inden wir 1/k genau damit erweitern:
[mm] \bruch{1}{k}=\bruch{(\wurzel k-2) ^2}{k(\wurzel k-2)^2 }=\bruch{(\wurzel k-2) ^2}{\wurzel{k}^2(\wurzel k-2)^2 }=\bruch{(\wurzel k-2) ^2}{(k-2\wurzel{k})^2 }.
[/mm]
Jetzt verkleinere diesen Bruch, indem du seinen Nenner vergrößerst.
Gruß Abakus
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