Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 07.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+1}{3n^2+4n-1} [/mm] (ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}n}{n^2+1} [/mm] |
Hallo,
kann mir vlt jemand sagen, ob meine Überlegungen richtig sind?
Bei der (ii) habe ich das Leibniz Kriterium angwendet, da es sich um eine alternierende reihe handelt.
Dazu muss ich zeigen, dass [mm] a_{n}n\in \IN:=(\bruch{n}{n^2+1} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Wenn ich im Bruch [mm] n^2 [/mm] kürze habe ich stehen:
[mm] \bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^2}} [/mm] --> [mm] \bruch{0}{1} [/mm] -->0
für die Monotonie ist zu zeigen, dass [mm] a_{n+1}
[mm] \bruch{n+1}{(n+1)^2+1} [/mm] < [mm] \bruch{n}{n^2+1}
[/mm]
[mm] \bruch{n+1}{n^2+2n+2}< \bruch{n}{n^2+1}
[/mm]
Wir brauchen an dieser Stelle die Berechnung nicht weiterf¨uhren, da die letzte
Zeile die Monotonie aufzeigt.
Die beiden Bedingungen sind erfüllt, also ist die Reihe konvergent.
bei (i) dachte ich an das Majoranten bzw. Minorantenkrit.
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
>
> (i) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+1}{3n^2+4n-1}[/mm] (ii)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}n}{n^2+1}[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir vlt jemand sagen, ob meine Überlegungen richtig
> sind?
>
> Bei der (ii) habe ich das Leibniz Kriterium angwendet, da
> es sich um eine alternierende reihe handelt.
sehr gut!
> Dazu muss ich zeigen, dass
prüfen, ob
> [mm]a_{n}n\in \IN:=(\bruch{n}{n^2+1}[/mm]
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}:\equiv\left(\frac{n}{n^2+1}\right)_{n \in \IN}$
[/mm]
> eine monoton fallende Nullfolge ist.
> Wenn ich im Bruch [mm]n^2[/mm] kürze habe ich stehen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^2}}[/mm] --> [mm]\bruch{0}{1}[/mm]
> -->0
Ja, ich schreibe es aber einmal ganz sauber auf, damit Du auch siehst, dass hier Grenzwertsätze für konvergente Folgen Anwendung finden:
[mm] $$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n^2+1}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+(1/n^2))}=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1/n)}{(\lim\limits_{n \to \infty}1)+\lim\limits_{n \to \infty}(1/n^2)}=\frac{0}{1+0}=0/1=0\,.$$
[/mm]
> für die Monotonie ist zu zeigen, dass [mm]a_{n+1}
>
> [mm]\bruch{n+1}{(n+1)^2+1}[/mm] < [mm]\bruch{n}{n^2+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n+1}{n^2+2n+2}< \bruch{n}{n^2+1}[/mm]
>
> Wir brauchen an dieser Stelle die Berechnung nicht
> weiterf¨uhren, da die letzte
> Zeile die Monotonie aufzeigt.
Das sehe ich noch nicht. Wieso?
Es ist auch logisch ein wenig "schwammisch":
Zu zeigen ist [mm] $a_{n+1} \le a_n$ [/mm] für jedes [mm] $n\,,$ [/mm] Du willst sogar strenge Monotonie zeigen, also [mm] $a_{n+1}< a_n$ [/mm] für jedes [mm] $n\,.$
[/mm]
Es gilt
[mm] $$a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \ldots (\text{vgl. Deine Rechnung!})$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (n+1)*(n^2+1) [/mm] < [mm] n(n^2+2n+2)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw n^3+n^2+n+1 [/mm] < [mm] n^3+2n^2+2n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw n^2+n [/mm] > [mm] 1\,.$$
[/mm]
Wichtig ist, dass wir nun sehen:
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $n,n^2 \ge [/mm] 1$ und damit [mm] $n^2+n \ge [/mm] 2 [mm] \Rightarrow n^2+n [/mm] > [mm] 1\,.$ [/mm] Nun startet man bei obiger Umformungskette (ich meine die mit den [mm] $\gdw$-Zeichen) [/mm] von unten und liest von unten nach oben nur unter Benutzung der [mm] "$\Leftarrow$"-Folgerungen, [/mm] um [mm] $a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$ [/mm] zu erkennen.
(Also: $n [mm] \in \IN \Rightarrow n^2+n [/mm] > 1 [mm] \Rightarrow n^3+n^2+n+1 [/mm] < [mm] n^3+2n^2+2n \Rightarrow \ldots$)
[/mm]
> Die beiden Bedingungen sind erfüllt, also ist die Reihe
> konvergent.
Okay!
> bei (i) dachte ich an das Majoranten bzw. Minorantenkrit.
Ja. Und dazu ein Tipp:
Es gilt [mm] $\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}\blue{*n} \to \frac{2}{3}\,.$ [/mm] Also:
Es gibt insbesondere zu [mm] $\epsilon=1/3 [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass für jedes $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt
[mm] $$\frac{2}{3}-\underbrace{\frac{1}{3}}_{=\epsilon} \le \frac{2n+1}{3n^2+4n-1}*n \;\;\;\green{\left(\le \frac{2}{3}+\underbrace{\frac{1}{3}}_{=\epsilon}\right)}$$ [/mm] (das grüne ist nicht so wichtig, es steht nur der Vollständigkeit wegen da)
bzw. es gilt (insbesondere)
[mm] $$\frac{1}{3}*\frac{1}{\blue{n}}\le \frac{2n+1}{3n^2+4n-1}\;\;(n \ge n_0)\,.$$
[/mm]
Daher gilt für jedes $N > [mm] n_0$:
[/mm]
$$$ [mm] \summe_{n=1}^{N} \bruch{2n+1}{3n^2+4n-1}=\underbrace{\summe_{n=1}^{n_0} \bruch{2n+1}{3n^2+4n-1}}_{ =:M < \infty} +\summe_{n=n_0+1}^{N} \bruch{2n+1}{3n^2+4n-1} \ge M+\frac{1}{3}\sum_{n=n_0+1}^N \frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Was ist aber [mm] $\lim\limits_{N \to \infty} \sum_{n=n_0+1}^N \frac{1}{n}=\sum_{n=n_0+1}^\infty \frac{1}{n}$?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> > bei (i) dachte ich an das Majoranten bzw. Minorantenkrit.
>
> Ja. Und dazu ein Tipp:
> Es gilt [mm]\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}\blue{*n} \to \frac{2}{3}\,.[/mm]
ich verstehe nicht, woher das *n herkommt
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 08.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Hier wurde abgschätzt, da für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ offensichtlich gilt:
[mm] $$\frac{2n+1}{3n^2+4n-1} [/mm] \ = \ [mm] \frac{2n+1}{3n^2+4n-1}*\red{1} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \frac{2n+1}{3n^2+4n-1}*\red{n}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
> Hallo,
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> > > bei (i) dachte ich an das Majoranten bzw. Minorantenkrit.
> >
> > Ja. Und dazu ein Tipp:
> > Es gilt [mm]\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}\blue{*n} \to \frac{2}{3}\,.[/mm]
>
>
> ich verstehe nicht, woher das *n herkommt
das muss man fast wissen, wieso das einmal daherkommt, um zu wissen, wofür man es braucht. Grob kann man sagen:
Für große [mm] $n\,$ [/mm] verhält sich [mm] $\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}$ [/mm] so, wie [mm] $\frac{2}{3n}\,.$ [/mm] Das ist aber nichts ganz mathematisches, sondern eher etwas intuitives, was man auch mit Erfahrung erkennt.
Weil wir wissen, dass die (Rest-)Reihe von [mm] $\sum_n \frac{2}{3n}=\frac{2}{3}\sum_n \frac{1}{n}$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, wollen wir uns eine entsprechende Minorante für die (eigentlich das Restglied der) Ausgangsreihe basteln.
Es macht dabei aber keinen Sinn, etwas wie
[mm] $$\frac{2n+1}{3n^2+4n-1} \to \frac{2}{3n}$$
[/mm]
zu schreiben, zumal dies, selbst wenn es sinnvoll wäre, nur [mm] $\frac{2n+1}{3n^2+4n-1} \to [/mm] 0$ liefern würde, was uns bzgl. der Ausgangsreihe nicht hilft. Wir wissen aber (und das kann man mithilfe von Grenzwertsätzen für konvergente Folgen nachrechnen):
[mm] $$\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}*n=\frac{2n^2+n}{3n^2+4n-1} \to \frac{2}{3}\,.$$
[/mm]
Die Reihe (bzw. das Restglied der Reihe) [mm] $\sum_n \frac{2}{3n}$ [/mm] nun als divergente Minorante für unsere Ausgangsreihe nun zu benutzen, ist dann allerdings sehr gewagt bzw. zu gewagt. Aber wir finden sicher ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\frac{2}{3}-\epsilon [/mm] > 0$ bleibt (ich habe [mm] $\epsilon=1/3$ [/mm] gewählt).
Zu einem solchen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ findet man (nach Definition des Begriffes Grenzwert bzw. Konvergenz) dann (mindestens ein) [mm] $n_0$ [/mm] so (wenn man eines hat, tut's ja jedes größere [mm] $n_0$ [/mm] auch), dass für $n [mm] \ge n_0$ [/mm] nun [mm] $\left|\frac{2}{3}-\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}*n\right| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt, woraus insbesondere
[mm] $$\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}*n [/mm] > [mm] \frac{2}{3}-\epsilon [/mm] > [mm] 0\;\;\;(n \ge n_0)$$
[/mm]
folgt. Dies zeigt, dass [mm] $\sum_{n=n_0+1}^\infty \frac{2n+1}{3n^2+4n-1}$ [/mm] durch [mm] $\sum_{n=n_0+1}^\infty \left(\frac{2}{3}-\epsilon\right)*1/n$ [/mm] minoriert wird. Diese Minorante strebt aber gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
P.S.:
Schau' auch mal ins ![[]](/images/popup.gif) Lehrbuch der Analysis, Harro Heuser, Ausgabe 17, S. 204, Satz 33.6:
Sind [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$ [/mm] Reihen mit positiven Gliedern und gilt [mm] $a_n/b_n \to \gamma [/mm] > 0$, so haben die beiden Reihen das gleiche Grenzverhalten.
Zusatz: Strebt [mm] $a_n/b_n \to [/mm] 0$, so liefert immerhin die Konvergenz von [mm] $\sum b_n$ [/mm] auch die von [mm] $\sum a_n\,.$
[/mm]
Der Beweis dieses Satzes (zunächst ohne Zusatz) beruht auf der gleichen Überlegung wie oben:
[mm] $a_n/b_n \to \gamma \Rightarrow$ $\exists \epsilon_0 [/mm] > 0$ mit [mm] $\gamma-\epsilon_0 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gilt aber
[mm] $$-\epsilon_0 [/mm] < [mm] a_n/b_n-\gamma [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
ab einem [mm] $n_0$ [/mm] bzw.
[mm] $$(\gamma-\epsilon_0)*b_n [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] (\gamma+\epsilon)*b_n\,.$$
[/mm]
Das erste [mm] $<\,$ [/mm] begründet nun, dass aus der Kgz. von [mm] $\sum a_n$ [/mm] die von [mm] $\sum b_n$ [/mm] folgt, und das zweite [mm] $<\,,$ [/mm] dass aus der Kgz. von [mm] $\sum b_n$ [/mm] die von [mm] $\sum a_n$ [/mm] folgt (Majorantenkriterium auf das Restglied der jeweiligen Reihe angewendet).
Setzt Du diesen Satz übrigens als bekannt bzw. bewiesen voraus, so kannst Du auch sagen:
Mit [mm] $a_n=\frac{2n+1}{3n^2+4n-1}$ [/mm] und [mm] $b_n:=1/n$ [/mm] gilt [mm] $a_n/b_n \to 2/3=:\gamma\,.$ [/mm] Nun sind alle [mm] $a_n$ [/mm] und alle [mm] $b_n$ [/mm] hier $>0$, und wegen [mm] $\gamma=2/3 [/mm] > 0$ liefert Satz 33.6 die Divergenz von [mm] $\sum_n a_n,$ [/mm] da [mm] $\sum_n \frac{1}{n}$ [/mm] bekanntlich divergiert.
Beste Grüße,
Marcel
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