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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
b) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (-1)^n*\left( \bruch{4n+3}{5n+4} \right)^n
[/mm]
d) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(3n)!-n!}{n^{3n}+2n^2} [/mm] |
Hallo,
bei diesen zwei Aufgaben komme ich nicht so recht weiter ( a) & c) habe ich hinbekommen).
Bei der b) dachte ich zuerst an das Leibniz Kriterium, dass also wenn [mm] a_{n} [/mm] Nullfolge ist, die dazu passende alternierende Reihe konvergiert.
Nun ist mein Problem, dass ich nicht rausbekomme, ob [mm] a_{n}:=\left( \bruch{4n+3}{5n+4} \right)^n [/mm] eine Nullfolge ist.
Wenn ich mir nur [mm] \left( \bruch{4n+3}{5n+4} \right) [/mm] betrachte, sehe ich ja, dass das ganze für x [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] \bruch{4}{5} [/mm] läuft, aber hier habe ich die "hoch n" weggelassen, was ich wahrscheinlich nicht darf ( wie bei [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] ).
Info: laut ![[]](/images/popup.gif) Wolfram-Alpha konvergiert die Reihe.
Nun, bei der d) habe ich noch weniger Ideen, wie ich ran gehen soll. Ich habe versucht, mit QK etwas heraus zufinden, aber da wurde das ganze noch unübersichtlicher :-(
Dnake für jegliche Hilfe
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Hallo MatheStudi7,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> b) [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (-1)^n*\left( \bruch{4n+3}{5n+4} \right)^n[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(3n)!-n!}{n^{3n}+2n^2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei diesen zwei Aufgaben komme ich nicht so recht weiter (
> a) & c) habe ich hinbekommen).
>
> Bei der b) dachte ich zuerst an das Leibniz Kriterium, dass
> also wenn [mm]a_{n}[/mm] Nullfolge ist, die dazu passende
> alternierende Reihe konvergiert.
> Nun ist mein Problem, dass ich nicht rausbekomme, ob
> [mm]a_{n}:=\left( \bruch{4n+3}{5n+4} \right)^n[/mm] eine Nullfolge
> ist.
Vieeel einfacher: Wurzelkriterium!
> Wenn ich mir nur [mm]\left( \bruch{4n+3}{5n+4} \right)[/mm]
Ja, das ist genau der Term, den es im Endeffekt (nach Vereinfachung) für [mm]n\to\infty[/mm] zu untersuchen gilt.
> betrachte, sehe ich ja, dass das ganze für x [mm]\to \infty[/mm]
Für [mm]\red{n}\to\infty[/mm]
> gegen [mm]\bruch{4}{5}[/mm] läuft, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das ist [mm]<1[/mm], also absolute Konvergenz gem. WK.
Somit auch "normale" Konvergenz
> aber hier habe ich die "hoch n"
> weggelassen, was ich wahrscheinlich nicht darf ( wie bei
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}[/mm] ).
Dass [mm]\left(\frac{4n+3}{5n+4}\right)^n[/mm] eine Nullfolge ist, sollte sich mit dem Sandwichlemma relativ schnell zeigen lassen.
Quetsche es zwischen zwei Folgen [mm]q_1^n[/mm] und [mm]q_2^n[/mm] ein, jeweils mit [mm]q_i<1[/mm] ...
Aber wie gesagt: Wurzelkriterium ...
> Info: laut
> Wolfram-Alpha
> konvergiert die Reihe.
>
>
> Nun, bei der d) habe ich noch weniger Ideen, wie ich ran
> gehen soll. Ich habe versucht, mit QK etwas heraus
> zufinden, aber da wurde das ganze noch unübersichtlicher
> :-(
Jo, QK wäre auch meine erste Idee:
Zeige doch mal, was du damit bekommst ...
Alternativ könntest du das Vergleichskriterium bemühen!
Schaue mal hier:
https://www.vorhilfe.de/read?t=748932
>
> Dnake für jegliche Hilfe
Gruß
schachuzipus
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