Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz bzw. Divergenz
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] )
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}} [/mm] |
Hallo,
bei Aufgabenteil a) habe ich mit Leibnizkriterium gezeigt, dass die Reihe konvergiert, aber wie kann ich zeigen, dass sie absolut konvergiert bzw. nicht absolut konvergiert?
b)
da habe ich zuerst [mm] (n+1)^{n-1} [/mm] umgeformt zu [mm] \bruch{(n+1)^n}{(n+1)}
[/mm]
jetzt Quotientenkriterium anwenden:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = ....= [mm] \bruch{(n-2)^{n}}{(n-1)^{n} (n+1)^{n}}
[/mm]
wie kann ich hier weiter vorgehen?
Gruß Matheproof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz, absolute
> Konvergenz bzw. Divergenz
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> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} (\wurzel{n+1}[/mm] -
> [mm]\wurzel{n}[/mm] )
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> b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}}[/mm]
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> Hallo,
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> bei Aufgabenteil a) habe ich mit Leibnizkriterium gezeigt,
> dass die Reihe konvergiert, aber wie kann ich zeigen, dass
> sie absolut konvergiert bzw. nicht absolut konvergiert?
Zeige : [mm] \wurzel{n+1}[/mm] [/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] [mm] \ge [/mm] 1/n für n [mm] \in \IN.
[/mm]
>
> b)
>
> da habe ich zuerst [mm](n+1)^{n-1}[/mm] umgeformt zu
> [mm]\bruch{(n+1)^n}{(n+1)}[/mm]
>
> jetzt Quotientenkriterium anwenden:
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] = ....=
> [mm]\bruch{(n-2)^{n}}{(n-1)^{n} (n+1)^{n}}[/mm]
>
> wie kann ich hier weiter vorgehen?
Mit dem QK bekommst Du keine Entscheidung !
Es ist [mm] $\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}}= (1+1/n)^{n-1}*\bruch{1}{n} [/mm] $
Ist denn nicht $ 1+1/n [mm] \ge [/mm] 1 $ ???
FRED
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>
> Gruß Matheproof
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Hallo,
die Aussage stimmt nicht, oder?
für n=1 gilt diese nicht
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} \ge \bruch{1}{n}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matheproof!
Du hast Recht: für $n \ = \ 1$ stimmt diese Ungleichung nicht.
Aber ab einem bestimmten [mm] $n_0$ [/mm] aufwärts stimmt sie schon.
Gruß
Loddar
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