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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 07.07.2011
Autor: Sup

Aufgabe
a) Zeigen sie das Minorantenkriterium
b)Untersuchen sie [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}} [/mm] auf Konvergenz
c)Untersuchen sie [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(2n-1)(2n+1)}} [/mm] auf Konvergenz

Hallo,

in der Vorlesung haben wir schon das Majoranten-, Quotienten- und das Wurzelkriterium eingeführt.

a) Hier habe ich einfach ein Widerspruch zum Majorantenkriterium gezeigt.
Vorausgesetzt sei: [mm] (a_k), (b_k) \subset \IR^{\ge0} [/mm] mit [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN: a_k \ge b_k [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k [/mm] divergent.

Zu zeigen ist, dass dann auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] divergent ist.

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k [/mm] divergent ist (glaube ich) äquivalent zu [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k=+ \infty. [/mm]
Nun sei die Annahme, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] < [mm] +\infty [/mm] (also [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] konvergent).
Nach dem Majorantenkriterium würde aber folgen, dass dann auch [mm] \summe_{}^{}b_k [/mm] konvergent ist. Dies ist ja ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] divergent sein.

bei b) und c) weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll. Kann ich da einfach den Limes bilden?

z.B. bei b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{5}{2}\right)^n (n+1)*3^{-(n+1)} [/mm]

Betrachtet man, dann die einzelnen Faktoren geht
[mm] \left(\bruch{5}{2}\right)^n [/mm] und (n+1) gegen [mm] \infty, [/mm] aber [mm] 3^{-(n+1)} [/mm] gegen 0.
Und damit konvergiert dann auch das Produkt/die Reihe gegen 0.

Schätze aber mal, man muss hier eins der Kriterien benutzen. Nur wie und welches?

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: zu b), c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Do 07.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Sup,



> a) Zeigen sie das Minorantenkriterium
>  b)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}[/mm] auf
> Konvergenz
>  c)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(2n-1)(2n+1)}}[/mm] auf
> Konvergenz
>  Hallo,
>  
> in der Vorlesung haben wir schon das Majoranten-,
> Quotienten- und das Wurzelkriterium eingeführt.

Das ist eine gute Ausgangsbasis!

>  
> a) Hier habe ich einfach ein Widerspruch zum
> Majorantenkriterium gezeigt.
>  Vorausgesetzt sei: [mm](a_k), (b_k) \subset \IR^{\ge0}[/mm] mit
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN: a_k \ge b_k[/mm] und [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm]
> divergent.
>  
> Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> divergent ist.
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm] divergent ist (glaube ich)
> äquivalent zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k=+ \infty.[/mm]
>  Nun sei
> die Annahme, dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] < [mm]+\infty[/mm] (also
> [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] konvergent).
>  Nach dem Majorantenkriterium würde aber folgen, dass dann
> auch [mm]\summe_{}^{}b_k[/mm] konvergent ist. Dies ist ja ein
> Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm]
> divergent sein.
>  
> bei b) und c) weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen
> soll. Kann ich da einfach den Limes bilden?
>  
> z.B. bei b)
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{5}{2}\right)^n (n+1)*3^{-(n+1)}[/mm]
>  
> Betrachtet man, dann die einzelnen Faktoren geht
>  [mm]\left(\bruch{5}{2}\right)^n[/mm] und (n+1) gegen [mm]\infty,[/mm] aber
> [mm]3^{-(n+1)}[/mm] gegen 0.
>  Und damit konvergiert dann auch das Produkt/die Reihe
> gegen 0.
>  
> Schätze aber mal, man muss hier eins der Kriterien
> benutzen. Nur wie und welches?

Na, das Wurzelkriterium bietet sich an, bedenke, dass du [mm] $2^n\cdot{}3^{n+1}$ [/mm] auch schreiben kannst als [mm] $3\cdot{}6^n$ [/mm]

Damit hast du [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{n+1}{3}\cdot{}\left(\frac{5}{6}\right)^n$ [/mm]

Darauf nun das WK loslassen ...

Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:

Für große $n$ ist [mm] $\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}$ [/mm]

Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder Divergenz geben ...

Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkriterium)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Do 07.07.2011
Autor: Sup


>
> Na, das Wurzelkriterium bietet sich an, bedenke, dass du
> [mm]2^n\cdot{}3^{n+1}[/mm] auch schreiben kannst als [mm]3\cdot{}6^n[/mm]
>  
> Damit hast du [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] mit
> [mm]a_n=\frac{n+1}{3}\cdot{}\left(\frac{5}{6}\right)^n[/mm]
>  
> Darauf nun das WK loslassen ...
>  

Dann mache ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}\left(\bruch{5}{6}\right)^n}=\bruch{5}{6}\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}} [/mm]

Nun weiß ich, dass [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{3}=\infty, [/mm] d.h. es ist näherungsweise n und damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}=1 [/mm]
Die Reihe konvergiert als absolut, da 1*5/6 < 1 ist.

> Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:
>  
> Für große [mm]n[/mm] ist
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>  
> Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> Divergenz geben ...
>  
> Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> (Majoranten-/Minorantenkriterium)


Alles klar, also:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm]

Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
[mm] \bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n} [/mm]

Ich weiß, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] divergiert ist.

Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">" ein "<" stehen.
Denn es muss ja gelten: [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] divergent und [mm] a_k \le b_k [/mm]
Das [mm] a_k [/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe, über die ich ja keine Aussage treffen kann.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Do 07.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> >
> > Na, das Wurzelkriterium bietet sich an, bedenke, dass du
> > [mm]2^n\cdot{}3^{n+1}[/mm] auch schreiben kannst als [mm]3\cdot{}6^n[/mm]
>  >  
> > Damit hast du [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] mit
> > [mm]a_n=\frac{n+1}{3}\cdot{}\left(\frac{5}{6}\right)^n[/mm]
>  >  
> > Darauf nun das WK loslassen ...
>  >  
> Dann mache ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}\left(\bruch{5}{6}\right)^n}=\bruch{5}{6}\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}[/mm]
>  
> Nun weiß ich, dass [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] gegen 1 konvergiert.
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{3}=\infty,[/mm] d.h. es
> ist näherungsweise n und damit ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}=1[/mm]
>  
> Die Reihe konvergiert als absolut, da 1*5/6 < 1 ist.

precisely!

>  > Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:

>  >  
> > Für große [mm]n[/mm] ist
> >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>  
> >  

> > Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> > Divergenz geben ...
>  >  
> > Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> > (Majoranten-/Minorantenkriterium)
>  
>
> Alles klar, also:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
>  
> Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?

Was schreibt man wie?

>  [mm]\bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}[/mm]
>  
> Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> divergiert ist.
>  
> Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich
> divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">"
> ein "<" stehen.
>  Denn es muss ja gelten: [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] divergent und [mm]a_k \le b_k[/mm]
>  
> Das [mm]a_k[/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe,
> über die ich ja keine Aussage treffen kann.

Na, es ist doch sicher [mm] $4n^2-1 [/mm] \ < \ [mm] 4n^2$ [/mm] (und für $n>0$ beides >0), also wegen der Monotonie der Wurzel auch [mm] $\sqrt{4n^2-1} [/mm] \ < \ [mm] \sqrt{4n^2}=2n$ [/mm]

Übergang zum Kehrbruch: [mm] $\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \frac{1}{2n}$ [/mm]

Also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} [/mm] \ > \ [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm]

Passt doch wunderbar, du hast eine div. Minorante ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Do 07.07.2011
Autor: Sup


> >  > Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:

>  >  >  
> > > Für große [mm]n[/mm] ist
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> > > Divergenz geben ...
>  >  >  
> > > Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> > > (Majoranten-/Minorantenkriterium)
>  >  
> >
> > Alles klar, also:
>  >  
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
>  >  
> > Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
>  
> Was schreibt man wie?

Würde man es in dem Zusammenhang so wie oben schreiben oder:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2n} [/mm]

>  
> >  [mm]\bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}[/mm]

>  >  
> > Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> > divergiert ist.
>  >  
> > Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich
> > divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">"
> > ein "<" stehen.
>  >  Denn es muss ja gelten: [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] divergent und
> [mm]a_k \le b_k[/mm]
>  >  
> > Das [mm]a_k[/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe,
> > über die ich ja keine Aussage treffen kann.
>
> Na, es ist doch sicher [mm]4n^2-1 \ < \ 4n^2[/mm] (und beides >0),
> also wegen der Monotonie der Wurzel auch [mm]\sqrt{4n^2-1} \ < \ \sqrt{4n^2}=2n[/mm]
>  
> Übergang zum Kehrbruch: [mm]\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ \red{>} \ \frac{1}{2n}[/mm]
>  
> Also [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ = \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ > \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>  

Die linke Seite verstehe ich. Nach dem Gleichheitszeichen müsste aber [mm] \summe_{n=2}^{\infty}, [/mm] denn du hast hat das erste Element (n=1) rausgezogen. Nur warum machst du das überhaupt?

Zur rechten Seite: Das [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] hast du nur dazugeschrieben, damit die ">"-Beziehung erhalten bleibt, oder wo kommt das sonst her?

> Passt doch wunderbar, du hast eine div. Minorante ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Do 07.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> > >  > Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:

>  >  >  >  
> > > > Für große [mm]n[/mm] ist
> > > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> > > > Divergenz geben ...
>  >  >  >  
> > > > Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> > > > (Majoranten-/Minorantenkriterium)
>  >  >  
> > >
> > > Alles klar, also:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
>  >  >  
> > > Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
>  >  
> > Was schreibt man wie?
>  Würde man es in dem Zusammenhang so wie oben schreiben
> oder:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]

Nein, diesen Limes brauchst du nicht, ich hatte das nur aufgeschrieben, damit du ein Ahnung bekommst, dass sich deine Reihe ungefähr verhält wie [mm]\frac{1}{2}\sum\frac{1}{n}[/mm]

>  >  
> > >  [mm]\bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}[/mm]

>  >  >  
> > > Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> > > divergiert ist.
>  >  >  
> > > Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich
> > > divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">"
> > > ein "<" stehen.
>  >  >  Denn es muss ja gelten: [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] divergent
> und
> > [mm]a_k \le b_k[/mm]
>  >  >  
> > > Das [mm]a_k[/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe,
> > > über die ich ja keine Aussage treffen kann.
> >
> > Na, es ist doch sicher [mm]4n^2-1 \ < \ 4n^2[/mm] (und beides >0),
> > also wegen der Monotonie der Wurzel auch [mm]\sqrt{4n^2-1} \ < \ \sqrt{4n^2}=2n[/mm]
>  
> >  

> > Übergang zum Kehrbruch: [mm]\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ \red{>} \ \frac{1}{2n}[/mm]
>  
> >  

> > Also [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ = \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ > \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>  
> >  

> Die linke Seite verstehe ich. Nach dem Gleichheitszeichen
> müsste aber [mm]\summe_{n=2}^{\infty},[/mm] denn du hast hat das
> erste Element (n=1) rausgezogen. Warum machst du dass
> überhaupt?

Ich hatte mich von deiner Aufgabenstellung verwirren lassen, da geht die Reihe bei [mm]n=0[/mm] los, was aber nicht definiert ist.

Richtigerweise geht die Reihe bei $n=1$ los.

Das hatte ich gar nicht bedacht bzw. übersehen ;-)

Ich hatte den ersten Summanden rausgezogen, um rechterhand [mm]\frac{1}{0}[/mm] zu vermeiden.

Ist aber vollkommen unnötig.

Die Reihe startet bei [mm]n=1[/mm] und die oben gemachte Abschätzung gilt für [mm]n>0[/mm], also insbes. für alle [mm]n\ge 1[/mm]

Also [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ > \ \frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Do 07.07.2011
Autor: Sup


> Ist aber vollkommen unnötig.

Stimmt, hab mich in der Aufgabenstellung vertan. Die Reihe geht bei n=1 los, men Fehler. Kommt davon, wenn man das Summenzeichen einfach kopiert :)

Danke dir, hast mir sehr weiter gehofen [ok]

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Do 07.07.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> a) Zeigen sie das Minorantenkriterium
>  b)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}[/mm] auf
> Konvergenz
>  c)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(2n-1)(2n+1)}}[/mm] auf
> Konvergenz
>  Hallo,
>  
> in der Vorlesung haben wir schon das Majoranten-,
> Quotienten- und das Wurzelkriterium eingeführt.
>  
> a) Hier habe ich einfach ein Widerspruch zum
> Majorantenkriterium gezeigt.
>  Vorausgesetzt sei: [mm](a_k), (b_k) \subset \IR^{\ge0}[/mm] mit
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN: a_k \ge b_k[/mm] und [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm]
> divergent.
>  
> Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> divergent ist.
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm] divergent ist (glaube ich)
> äquivalent zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k=+ \infty.[/mm]

nur eine Anmerkung: Im Allgemeinen wäre das falsch, wie etwa das Beispiel [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$ [/mm] zeigt.

Bei Dir sind aber nach Voraussetzung alle [mm] $b_k \ge 0\,.$ [/mm] Ist nun [mm] $\sum b_k=\infty\,,$ [/mm] so ist in der Tat dann die Reihe divergent. Ist andererseits nun [mm] $\sum b_k [/mm] < [mm] \infty\,,$ [/mm] so ist die Reihe - d.h. die,hier, monoton wachsende Folge der entsprechenden Teilsummen - nach oben beschränkt und daher konvergent.

Somit hast Du mit Deinem Glauben hier absolut Recht (aber nicht unter Vernachlässigung der Tatsache, dass alle [mm] $b_k \ge [/mm] 0$ sind).

Gruß,
Marcel

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