Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^9}[/mm]
2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}[/mm]
Für welche x konvergieren bzw. divergieren die folgenden Reihen.
3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*x^n[/mm]
4. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{(2n)!}*x^n[/mm] |
Gute Nacht :)
Zu 1:
Quotientenkriterium:
Nebenrechnung:
[mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =\bruch{(n+1)!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{(n+1)*n!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{n^9}{(n+1)^8}[/mm]
[mm]inf \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{(n+1)^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{n^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} n > 1[/mm]
Ich hatte keine Lust [mm](n+1)^8[/mm] auszurechnen, daher habe ich das so abgeschätzt. Durfte ich das?
Oder hätte ich wieder das Sandwich-Lemma anwenden sollen?
Wie hättet Ihr das gemacht?
Zu 2:
[mm]\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}} = \bruch{3}{4}* \sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} [/mm]
Wie kann ich hier weitermachen?
Wieder Sandwich-Lemma oder n ausklammern?
Zu 3:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ 2^n(n+2)*|x|^n} =\limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2} [/mm]
Sandwich-Lemma:
[mm]\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+2} \leq \sqrt[n]{n*n} = \sqrt[n]{n} *\sqrt[n]{n} = 1*1 = 1[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] aus der Vorlesung.
<span class="math">[mm]sup \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =sup \limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2} = 2|x|[/mm]
Demnach konvergiert die Reihe mit [mm]|x| < \bruch{1}{2}[/mm].
Zu 4:
Wenn ich hier das Wurzelkriterium anwende, werde ich wieder Probleme beim Abschätzen von [mm]\sqrt[n]{\bruch{n!}{(2n)!}} *x[/mm] haben.
Wäre das Quotientenkriterium besser geeignet?
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen :)
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
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> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^9}[/mm]
>
> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}[/mm]
>
> Für welche x konvergieren bzw. divergieren die folgenden
> Reihen.
>
> 3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*x^n[/mm]
>
> 4. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{(2n)!}*x^n[/mm]
>
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> Gute Nacht :)
>
> Zu 1:
>
> Quotientenkriterium:
>
> Nebenrechnung:
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =\bruch{(n+1)!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{(n+1)*n!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{n^9}{(n+1)^8}[/mm]
>
> [mm]inf \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{(n+1)^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{n^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} n > 1[/mm]
>
> Ich hatte keine Lust [mm](n+1)^8[/mm] auszurechnen, daher habe ich
> das so abgeschätzt. Durfte ich das?
> Oder hätte ich wieder das Sandwich-Lemma anwenden
> sollen?
> Wie hättet Ihr das gemacht?
Obiges ist kraus. Was ist denn $inf [mm] \lim [/mm] $ ?
Es reicht doch völlig zu schreiben: [mm] \bruch{n^9}{(n+1)^8} \to \infty.
[/mm]
>
> Zu 2:
>
> [mm]\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}} = \bruch{3}{4}* \sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}}[/mm]
>
> Wie kann ich hier weitermachen?
[mm] \sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} \to [/mm] 1 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
> Wieder Sandwich-Lemma oder n ausklammern?
>
> Zu 3:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ 2^n(n+2)*|x|^n} =\limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2}[/mm]
>
> Sandwich-Lemma:
>
> [mm]\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+2} \leq \sqrt[n]{n*n} = \sqrt[n]{n} *\sqrt[n]{n} = 1*1 = 1[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] aus der
> Vorlesung.
>
> <span class="math">[mm]sup \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =sup \limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2} = 2|x|[/mm]
Wenn Du lim sup meinst, dann schreib das auch.
>
> Demnach konvergiert die Reihe mit [mm]|x| < \bruch{1}{2}[/mm].
Ja, und was ist mit [mm]x = \pm \bruch{1}{2}[/mm] ?
>
> Zu 4:
>
> Wenn ich hier das Wurzelkriterium anwende, werde ich wieder
> Probleme beim Abschätzen von [mm]\sqrt[n]{\bruch{n!}{(2n)!}} *x[/mm]
> haben.
> Wäre das Quotientenkriterium besser geeignet?
Ja
FRED
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen :)
>
> Liebe Grüße,
> Lisa
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Hallo Fred :)
Vielen lieben Dank, dass du mir hilfst :)
> > Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
> >
> > 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^9}[/mm]
> >
> > 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}[/mm]
>
> >
> > Für welche x konvergieren bzw. divergieren die folgenden
> > Reihen.
> >
> > 3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*x^n[/mm]
> >
> > 4. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{(2n)!}*x^n[/mm]
> >
> >
> > Gute Nacht :)
> >
> > Zu 1:
> >
> > Quotientenkriterium:
> >
> > Nebenrechnung:
> > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =\bruch{(n+1)!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{(n+1)*n!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{n^9}{(n+1)^8}[/mm]
>
> >
> > [mm]inf \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{(n+1)^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{n^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} n > 1[/mm]
>
> >
> > Ich hatte keine Lust [mm](n+1)^8[/mm] auszurechnen, daher habe ich
> > das so abgeschätzt. Durfte ich das?
> > Oder hätte ich wieder das Sandwich-Lemma anwenden
> > sollen?
> > Wie hättet Ihr das gemacht?
>
>
> Obiges ist kraus. Was ist denn [mm]inf \lim[/mm] ?
Ich meinte limes inferior, aber das gab es in dem Formeleditor nicht und lim inf hat irgendwie nicht geklappt.
> Es reicht doch völlig zu schreiben: [mm]\bruch{n^9}{(n+1)^8} \to \infty.[/mm]
Und das muss ich nicht beweisen?
> >
> > Zu 2:
> >
> > [mm]\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}} = \bruch{3}{4}* \sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}}[/mm]
>
> >
> > Wie kann ich hier weitermachen?
>
>
>
> [mm]\sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} \to[/mm] 1 (n [mm]\to \infty)[/mm]
Auch wenn wir [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] in der Prüfung verwenden dürfen muss ich nicht noch beweisen, dass es auch für [mm]\sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} [/mm] gilt?
Also da das Sandwich-Lemma?
[mm]?? \leq\sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} \leq \sqrt[n]{n} [/mm]
Nie kriege ich dieses blöde Sandwich-Lemma hin ![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]")
Kannst du mir einen Tipp geben?
> > Zu 3:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ 2^n(n+2)*|x|^n} =\limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2}[/mm]
>
> >
> > Sandwich-Lemma:
> >
> > [mm]\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+2} \leq \sqrt[n]{n*n} = \sqrt[n]{n} *\sqrt[n]{n} = 1*1 = 1[/mm]
> > mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] aus der
> > Vorlesung.
> >
> > [mm]sup \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =sup \limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2} = 2|x|[/mm]
>
> Wenn Du lim sup meinst, dann schreib das auch.
Okay, tut mir Leid, ich habe erst jetzt rausbekommen wie das geht.
> > Demnach konvergiert die Reihe mit [mm]|x| < \bruch{1}{2}[/mm].
>
> Ja, und was ist mit [mm]x = \pm \bruch{1}{2}[/mm] ?
Da wäre lim sup = 1 und da kann ich mit dem Quotientenkriterium keine Aussage machen.
Für [mm]x = \bruch{1}{2}[/mm]:
Ich probiere es mal mit dem Trivialkriterium:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2^n(n+2)*\bruch{1}{2}^n = \limes_{n\rightarrow\infty} (n+2) =\infty[/mm]
Für [mm]x = \bruch{1}{2}[/mm] divergiert die Folge also.
Für [mm]x = -\bruch{1}{2}[/mm]
Hier muss ich nun das Leibnizkriterium verwenden, denn die Reihe ist eine alternierende Reihe.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*(-\bruch{1}{2})^n [/mm]
Aber das ist so ja nicht die allgemeine alternierende Reihe mit [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*a_n[/mm]
Wie bekomme ich die allgemeine hin?
Ich kann ja nicht einfach [mm]2^n[/mm] dranmultiplizieren.
> > Zu 4:
> >
> > Wenn ich hier das Wurzelkriterium anwende, werde ich wieder
> > Probleme beim Abschätzen von [mm]\sqrt[n]{\bruch{n!}{(2n)!}} *x[/mm]
> > haben.
> > Wäre das Quotientenkriterium besser geeignet?
> Ja
Ich habe es gemacht und komme auf:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |x|* \bruch{1+\bruch{1}{n}}{4n+6+\bruch{2}{n}}[/mm]
Der Bruch strebt gegen 0, daher kann x jeden beliebigen Wert annehmen, oder?
Vielen Dank nochmal Fred :)
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
> Hallo Fred :)
>
> Vielen lieben Dank, dass du mir hilfst :)
>
> > > Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
> > >
> > > 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^9}[/mm]
> > >
> > > 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für welche x konvergieren bzw. divergieren die folgenden
> > > Reihen.
> > >
> > > 3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*x^n[/mm]
> > >
> > > 4. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{(2n)!}*x^n[/mm]
> > >
> > >
> > > Gute Nacht :)
> > >
> > > Zu 1:
> > >
> > > Quotientenkriterium:
> > >
> > > Nebenrechnung:
> > > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =\bruch{(n+1)!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{(n+1)*n!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{n^9}{(n+1)^8}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]inf \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{(n+1)^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{n^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} n > 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich hatte keine Lust [mm](n+1)^8[/mm] auszurechnen, daher habe ich
> > > das so abgeschätzt. Durfte ich das?
> > > Oder hätte ich wieder das Sandwich-Lemma anwenden
> > > sollen?
> > > Wie hättet Ihr das gemacht?
> >
> >
> > Obiges ist kraus. Was ist denn [mm]inf \lim[/mm] ?
>
> Ich meinte limes inferior, aber das gab es in dem
> Formeleditor nicht und lim inf hat irgendwie nicht
> geklappt.
>
> > Es reicht doch völlig zu schreiben: [mm]\bruch{n^9}{(n+1)^8} \to \infty.[/mm]
>
> Und das muss ich nicht beweisen?
Na, ausklammern hilft ...
[mm]\frac{n^9}{(n+1)^8}=\frac{n^9}{\left[n\cdot{}\left(1+1/n\right)\right]^8}=\frac{n^9}{n^8\cdot{}\left(1+1/n\right)^8}=\frac{n}{1+1/n}[/mm] ...
>
> > >
> > > Zu 2:
> > >
> > > [mm]\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}} = \bruch{3}{4}* \sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie kann ich hier weitermachen?
> >
> >
> >
> > [mm]\sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} \to[/mm] 1 (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> Auch wenn wir [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm]
> in der Prüfung verwenden dürfen muss ich nicht noch
> beweisen, dass es auch für [mm]\sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}}[/mm]
> gilt?
Naja, eigentlich nicht so wirklich ... Wenn [mm]\sqrt[n]{n}\to 1[/mm], dann auch [mm]\sqrt[n]{n+k}[/mm]
Und [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n-2}{n+2}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n-2}}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+2}}[/mm]
Nun Grenzwertsätze ...
> Also da das Sandwich-Lemma?
>
> [mm]?? \leq\sqrt[n]{\bruch{n-2}{n+2}} \leq \sqrt[n]{n}[/mm]
>
> Nie kriege ich dieses blöde Sandwich-Lemma hin
> Kannst du mir einen Tipp geben?
>
> > > Zu 3:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ 2^n(n+2)*|x|^n} =\limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Sandwich-Lemma:
> > >
> > > [mm]\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+2} \leq \sqrt[n]{n*n} = \sqrt[n]{n} *\sqrt[n]{n} = 1*1 = 1[/mm]
> > > mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] aus der
> > > Vorlesung.
> > >
> > > [mm]sup \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =sup \limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2} = 2|x|[/mm]
>
> >
> > Wenn Du lim sup meinst, dann schreib das auch.
>
> Okay, tut mir Leid, ich habe erst jetzt rausbekommen wie
> das geht.
>
> > > Demnach konvergiert die Reihe mit [mm]|x| < \bruch{1}{2}[/mm].
>
> >
> > Ja, und was ist mit [mm]x = \pm \bruch{1}{2}[/mm] ?
>
> Da wäre lim sup = 1 und da kann ich mit dem
> Quotientenkriterium keine Aussage machen.
>
> Für [mm]x = \bruch{1}{2}[/mm]:
>
> Ich probiere es mal mit dem Trivialkriterium:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2^n(n+2)*\bruch{1}{2}^n = \limes_{n\rightarrow\infty} (n+2) =\infty[/mm]
>
> Für [mm]x = \bruch{1}{2}[/mm] divergiert die Folge Reihe also. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für [mm]x = -\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hier muss ich nun das Leibnizkriterium verwenden, denn die
> Reihe ist eine alternierende Reihe.
Du musst nicht ...
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*(-\bruch{1}{2})^n[/mm]
>
> Aber das ist so ja nicht die allgemeine alternierende Reihe
> mit [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*a_n[/mm]
Hmm, hier hast du konkret [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n\cdot{}(n+2)[/mm]
Es ist doch [mm] $\left(-\frac{1}{2}\right)^n=(-1)^n\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n$
[/mm]
>
> Wie bekomme ich die allgemeine hin?
> Ich kann ja nicht einfach [mm]2^n[/mm] dranmultiplizieren.
Trivialkriterium, es konvergiert [mm](-1)^n(n+2)[/mm] nicht gegen 0, also kann die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n(n+2)[/mm] nicht konvergieren ...
>
> > > Zu 4:
> > >
> > > Wenn ich hier das Wurzelkriterium anwende, werde ich wieder
> > > Probleme beim Abschätzen von [mm]\sqrt[n]{\bruch{n!}{(2n)!}} *x[/mm]
> > > haben.
> > > Wäre das Quotientenkriterium besser geeignet?
> > Ja
>
> Ich habe es gemacht und komme auf:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |x|* \bruch{1+\bruch{1}{n}}{4n+6+\bruch{2}{n}}[/mm]
>
> Der Bruch strebt gegen 0, daher kann x jeden beliebigen
> Wert annehmen, oder?
Ja, die Reihe konvergiert für alle [mm]x\in\IR[/mm] ...
>
> Vielen Dank nochmal Fred :)
>
> Liebe Grüße,
> Lisa
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus und vielen Dank für deine Hilfe :)
> Hallo Lisa,
>
>
> > Hallo Fred :)
> >
> > Vielen lieben Dank, dass du mir hilfst :)
> >
> > > > Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
> > > >
> > > > 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^9}[/mm]
> > > >
> > > > 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n * \bruch{n-2}{n+2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Für welche x konvergieren bzw. divergieren die folgenden
> > > > Reihen.
> > > >
> > > > 3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*x^n[/mm]
> > > >
> > > > 4. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{(2n)!}*x^n[/mm]
> > >
> >
> > > >
> > > > Gute Nacht :)
> > > >
> > > > Zu 1:
> > > >
> > > > Quotientenkriterium:
> > > >
> > > > Nebenrechnung:
> > > > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =\bruch{(n+1)!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{(n+1)*n!}{(n+1)^9} * \bruch{n^9}{n!} = \bruch{n^9}{(n+1)^8}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]inf \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{(n+1)^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^9}{n^8} = inf \limes_{n\rightarrow\infty} n > 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich hatte keine Lust [mm](n+1)^8[/mm] auszurechnen, daher habe ich
> > > > das so abgeschätzt. Durfte ich das?
> > > > Oder hätte ich wieder das Sandwich-Lemma
> > > Es reicht doch völlig zu schreiben: [mm]\bruch{n^9}{(n+1)^8} \to \infty.[/mm]
> > Und das muss ich nicht beweisen?
>
> Na, ausklammern hilft ...
>
> [mm]\frac{n^9}{(n+1)^8}=\frac{n^9}{\left[n\cdot{}\left(1+1/n\right)\right]^8}=\frac{n^9}{n^8\cdot{}\left(1+1/n\right)^8}=\frac{n}{1+1/n}[/mm]
> ...
Aber ist das nicht
[mm]\frac{n^9}{(n+1)^8}=\frac{n^9}{\left[n\cdot{}\left(1+1/n\right)\right]^8}=\frac{n^9}{n^8\cdot{}\left(1+1/n\right)^8}=\frac{n}{\red{(1+1/n)^8}}[/mm] ??
> > > > Zu 3:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{ 2^n(n+2)*|x|^n} =\limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Sandwich-Lemma:
> > > >
> > > > [mm]\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+2} \leq \sqrt[n]{n*n} = \sqrt[n]{n} *\sqrt[n]{n} = 1*1 = 1[/mm]
> > > > mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] aus der
> > > > Vorlesung.
> > > >
> > > > [mm]sup \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =sup \limes_{n\rightarrow\infty} 2|x|*\sqrt[n]{n+2} = 2|x|[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn Du lim sup meinst, dann schreib das auch.
> >
> > Okay, tut mir Leid, ich habe erst jetzt rausbekommen wie
> > das geht.
> >
> > > > Demnach konvergiert die Reihe mit [mm]|x| < \bruch{1}{2}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Ja, und was ist mit [mm]x = \pm \bruch{1}{2}[/mm] ?
> >
> > Da wäre lim sup = 1 und da kann ich mit dem
> > Quotientenkriterium keine Aussage machen.
> >
> > Für [mm]x = \bruch{1}{2}[/mm]:
> >
> > Ich probiere es mal mit dem Trivialkriterium:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2^n(n+2)*\bruch{1}{2}^n = \limes_{n\rightarrow\infty} (n+2) =\infty[/mm]
>
> >
> > Für [mm]x = \bruch{1}{2}[/mm] divergiert die Folge Reihe also.
>
> >
> > Für [mm]x = -\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Hier muss ich nun das Leibnizkriterium verwenden, denn die
> > Reihe ist eine alternierende Reihe.
>
> Du musst nicht ...
>
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^n(n+2)*(-\bruch{1}{2})^n[/mm]
> >
> > Aber das ist so ja nicht die allgemeine alternierende Reihe
> > mit [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*a_n[/mm]
>
> Hmm, hier hast du konkret [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n\cdot{}(n+2)[/mm]
>
> Es ist doch
> [mm]\left(-\frac{1}{2}\right)^n=(-1)^n\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
>
Oh okay, jetzt sehe ich es.
Aber was ist wenn da steht:
[mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-\bruch{1}{3})^n\cdot{}(n+2)[/mm]
Was mache ich dann?
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo nochmal,
versuche, mit etwas mehr Bedacht zu zitieren. So ist es seeehr unübersichtlich 
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> > Na, ausklammern hilft ...
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> [mm]\frac{n^9}{(n+1)^8}=\frac{n^9}{\left[n\cdot{}\left(1+1/n\right)\right]^8}=\frac{n^9}{n^8\cdot{}\left(1+1/n\right)^8}=\frac{n}{1+1/n}[/mm]
> > ...
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> Aber ist das nicht
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> [mm]\frac{n^9}{(n+1)^8}=\frac{n^9}{\left[n\cdot{}\left(1+1/n\right)\right]^8}=\frac{n^9}{n^8\cdot{}\left(1+1/n\right)^8}=\frac{n}{\red{(1+1/n)^8}}[/mm]
Na klar, hab's falsch abgeschrieben von der Zeile darüber ...
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> > Hmm, hier hast du konkret [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n\cdot{}(n+2)[/mm]
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> > Es ist doch
> >
> [mm]\left(-\frac{1}{2}\right)^n=(-1)^n\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
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> Oh okay, jetzt sehe ich es.
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> Aber was ist wenn da steht:
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> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-\bruch{1}{3})^n\cdot{}(n+2)[/mm]
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> Was mache ich dann?
Na, nach Potenzgesetzen ist das [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n\cdot{}\frac{n+2}{3^n}[/mm]
Hier hast du eine alternierende Reihe [mm]\sum(-1)^na_n[/mm] mit [mm]a_n=\frac{n+2}{3^n}[/mm]
Man kann die Rufe des verstorbenen Hr. Leibniz schon fast hören ...
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> Liebe Grüße,
> Lisa
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schachuzipus
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