Konvergenz von Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{4}{9}+\bruch{6}{27}+\bruch{8}{81}+... [/mm] |
Hi,
könntet ihr kurz drüber schauen?
Bildungsvorschrift
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n}{3^n}
[/mm]
Beweis mithelfe des Quotientenkriterium
[mm] |\bruch{an+1}{an}|
[/mm]
=> [mm] \bruch{2n+1}{3^n^+^1} *\bruch{3^n}{2n}
[/mm]
[mm] =>\bruch{2n+1}{6n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+1}{6n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n}{1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3} [/mm] < 1
=> da q < 1, konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n}{3^n} [/mm] absolut.
Hoffentlich stimmt alles
Gruß Stas
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Hiho,
> [mm]\bruch{2}{3}+\bruch{4}{9}+\bruch{6}{27}+\bruch{8}{81}+...[/mm]
> Hi, könntet ihr kurz drüber schauen?
natürlich!
> Bildungsvorschrift
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n}{3^n}[/mm]
Könnte man vermuten.
Auch wenn solche Aufgabenstellungen natürlich immer etwas kritisch sind, weil eine Folge nicht durch die Angabe von ein paar (endlichen) Gliedern definiert ist.
Sie könnte jetzt auch weitergehen mit [mm] $1,1,1,1,1,1,1,\ldots$
[/mm]
Aber im Sinne der Aufgabenstellung, stimmt das wohl.
Und nur so nebenbei: Was ist überhaupt die Aufgabe?
Ich hab jetzt einfach mal geraten, das nächste Mal diese bitte mit angeben.
> Beweis mithelfe des Quotientenkriterium
>
> [mm]|\bruch{an+1}{an}|[/mm]
Schreibe das bitte sauber: [mm] $a_{n+1}$ [/mm] bzw [mm] $a_n$ [/mm] erhälst du mit a_{n+1} bzw a_n.
> => da q < 1, konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n}{3^n}[/mm] absolut.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da du die Aufgabenstellung nicht gepostet hast, gibts jetzt noch den nächsten Schritt.
Wogegen konvergiert die Reihe?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
Danke für die schnelle Antwort.
Wusste nicht, wie das mit [mm] a_n [/mm] geht =)
Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
Hab mir das so gemerkt, sind endlich viele Glieder gegeben, dann die Bildungsvorschrift rausfinden und diese dann auf Konvergenz prüfen. Kann man den nur anhand der endlichen Glieder auf Konvergenz prüfen?
Gruß Stas
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Hiho,
du hast die Aufgabe sicherlich im Sinne des Aufgabenstellers gelöst.
Aber sauber ist die Aufgabe trotzdem nicht gestellt.
> Kann man den nur anhand der endlichen Glieder auf Konvergenz prüfen?
Nein, eben eigentlich nicht, da du nicht wirklich weißt, wie die Reihe fortgesetzt wird.
Wer sagt, denn dass die Reihe nicht lautet:
$ [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{4}{9}+\bruch{6}{27}+\bruch{8}{81}+ [/mm] 0 + 0 + 0 + 0 + [mm] \ldots$ [/mm] und ab da an nur noch Nullen kommen.
oder:
$ [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{4}{9}+\bruch{6}{27}+\bruch{8}{81}+ [/mm] 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + [mm] \ldots$ [/mm] und ab da an nur noch Einsen folgen?
Wie du siehst, nach endlich vielen Gliedern kann man eine Folge (bzw Reihe) beliebig fortsetzen, so lange keine Bildungsvorschrift gegeben ist.
Aber wie gesagt: Du hast die Aufgabe sicherlich wie gewünscht gelöst, aber gestellt ist die Aufgabe trotzdem schlecht 
Gruß
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo DragoNru!
> Beweis mithelfe des Quotientenkriterium
>
> [mm]|\bruch{an+1}{an}|[/mm] => [mm]\bruch{2n+1}{3^n^+^1} *\bruch{3^n}{2n}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt:
[mm]a_{n+1} \ = \ \bruch{2*\red{(}n+1\red{)}}{3^{n+1}} \ = \ \bruch{2n+\red{2}}{3^{n+1}}[/mm] .
Am Ergebnis letztendlich ändert dies nichts, aber die Rechnung sollte auch korrekt sein.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
Danke dir. Was ein blöder Fehler
Dafür würde mein Prof. bestimmt Punkte streichen :(
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