Konvergenz von Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n})_{n} [/mm] eine Folge in [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie: Sind die Teilfolgen [mm] (a_{2n})_{n} [/mm] und [mm] (a_{2n-1})_{n} [/mm] konvergent mit demselben Grenzwert a, so konvergiert auch [mm] a_{n} [/mm] gegen a. |
Hallo,
ich komme einfach auf keinen gescheiten Ansatz bei der obigen Aufgabe. Hilft mir evtl. die Tatsache weiter, dass mit 2n und 2n-1 alle geraden und ungeraden Zahlen abgedeckt sind, oder muss man dort doch streng mit einem [mm] \epsilon-Beweis [/mm] argumentieren?
Schönen Abend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](a_{n})_{n}[/mm] eine Folge in [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie: Sind die
> Teilfolgen [mm](a_{2n})_{n}[/mm] und [mm](a_{2n-1})_{n}[/mm] konvergent mit
> demselben Grenzwert a, so konvergiert auch [mm]a_{n}[/mm] gegen a.
> Hallo,
>
> ich komme einfach auf keinen gescheiten Ansatz bei der
> obigen Aufgabe. Hilft mir evtl. die Tatsache weiter, dass
> mit 2n und 2n-1 alle geraden und ungeraden Zahlen abgedeckt
> sind, oder muss man dort doch streng mit einem
> [mm]\epsilon-Beweis[/mm] argumentieren?
Du solltest einen [mm] $\epsilon$-Beweis [/mm] benutzen, wo Du dann innerhalb des Beweises benutzt, dass die "ungeraden und geraden Zahlen zusammen schon alle natürlichen Zahlen sind" - was hier aber nicht so stark in der Formulierung auffällt:
Fang an mit:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Für die Teilfolge mit ungeraden Indizes gibt es ein [mm] $N_u=N_u(\epsilon)$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge N_u$ [/mm] gilt
[mm] $$|a_{2n-1}-a| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Für die Teilfolge mit geraden Indizes gibt es ein [mm] $N_g=N_g(\epsilon)$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge N_g$ [/mm] gilt
[mm] $$|a_{2n}-a| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Jedes $n [mm] \ge N=N(\epsilon):=\max\{2N_u,\;2N_g\}$ [/mm] ist nun (entweder) gerade oder ungerade, daher folgt...
Letzteres noch zu Ende führen und sauber aufschreiben!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 15.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
> Jedes n [mm] \ge N=N(\epsilon):=\max\{2N_u,\;2N_g\} [/mm] ist nun (entweder) gerade oder ungerade
Dieses N bezieht sich jetzt auf die eigentliche Folge [mm] a_{n}, [/mm] oder? Was hat allerdings die 2 zu bedeuten? Also bei [mm] 2N_{u}, 2N_{g}.
[/mm]
Vielen Lieben Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Jedes n [mm]\ge N=N(\epsilon):=\max\{2N_u,\;2N_g\}[/mm] ist nun
> (entweder) gerade oder ungerade
>
> Dieses N bezieht sich jetzt auf die eigentliche Folge
genau. Du sollst zeigen, dass dieses bzgl. [mm] $\epsilon$ [/mm] geeignet für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist.
> [mm]a_{n},[/mm] oder? Was hat allerdings die 2 zu bedeuten? Also bei
> [mm]2N_{u}, 2N_{g}.[/mm]
Das ist doch einfach der Faktor [mm] $2\,:$ $2N_u=2 \cdot N_u$ [/mm] und [mm] $2N_g=2 \cdot N_g\,.$
[/mm]
Meinetwegen kannst Du das auch zu
[mm] $$N:=2\cdot \max\{N_u,\;N_g\}$$
[/mm]
umschreiben. Das ist das gleiche [mm] $N=N(\epsilon)\,.$
[/mm]
Damit's Dir vielleicht ein wenig klarer wird:
Nimm' mal an, zu etwa [mm] $\epsilon=1/3\,$ [/mm] wäre die Abschätzung
[mm] $$|a_{2n-1}-a| [/mm] < 1/3$$
für alle $n [mm] \ge 7=N_u(1/3)$ [/mm] gültig, d.h.
[mm] $$|a_{2n-1}-a| [/mm] < 1/3$$
würde gelten für
[mm] $$(2\cdot [/mm] n-1) [mm] \in \IN_u^{\ge 2\cdot 7-1}=\IN_{u}^{\ge 13}:=\{\underbrace{13}_{=2\cdot 7-1},\;15,\;17,\;19,\;21,\ldots\}\,.$$
[/mm]
D.h. bzgl. [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nichts anderes, als dass
[mm] $$|a_m-a| [/mm] < 1/3$$
für alle $m [mm] \in \IN_{u}^{\ge 13}\,.$
[/mm]
Weiter wäre
[mm] $$|a_{2n}-a| [/mm] < 1/3$$
für alle $n [mm] \ge 20=N_g(1/3)$ [/mm] gültig, d.h.
[mm] $$|a_{2n}-a| [/mm] < 1/3$$
würde gelten für
[mm] $$(2\cdot [/mm] n) [mm] \in \IN_g^{\ge 2\cdot 20}=\IN_{g}^{\ge 40}:=\{\underbrace{40}_{=2\cdot 20},\;42,\;44,\;46,\;48,\ldots\}\,.$$
[/mm]
D.h. bzgl. [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nichts anderes, als dass
[mm] $$|a_k-a| [/mm] < 1/3$$
für alle $k [mm] \in \IN_{g}^{\ge 40}\,.$
[/mm]
(P.S.: Ohne das ganze nun nochmal formal zu verpacken, einfach mal kurz in Worten erläutert: [mm] $\IN_u^{\ge r}$ [/mm] soll genau alle ungeraden natürlichen Zahlen enthalten, die [mm] $\ge [/mm] r$ sind, und [mm] $\IN_g^{\ge s}$ [/mm] somit genau alle geraden natürlichen Zahlen, die [mm] $\ge [/mm] s$ sind. )
Jetzt schau' Dir mal [mm] $\IN_u^{\ge 13} \cup \IN_g^{\ge 40}$ [/mm] an. Welche natürliche Zahl kannst Du dort nun benennen, so dass Du sagen kannst, dass ab der auch alle folgenden natürlichen Zahlen in der Vereinigung
[mm] $$\IN_u^{\ge 13} \cup \IN_g^{\ge 40}$$
[/mm]
liegen? Wie kannst Du diesen (oder einen solchen) Index mit [mm] $N_g(\epsilon)$ [/mm] und [mm] $N_u(\epsilon)$ [/mm] beschreiben? Und was heißt das nun für [mm] $|a_n-a|$ [/mm] ab diesem (oder einem solchen) Index?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 15.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Naja ab 40 sind bei dem von dir gewählten Beispiel alle geraden und ungeraden Zahlen abgedeckt. Ich würde also [mm] \max\{N_{u}, N_{g}\} [/mm] schreiben um den größeren Index zu erhalten. Wenn ich dich grade richtig verstanden habe.
Ich verstehe aber immer noch nicht, wieso ich die "Grenzen" mit 2 multiplizieren soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja ab 40 sind bei dem von dir gewählten Beispiel alle
> geraden und ungeraden Zahlen abgedeckt.
genau.
> Ich würde also
> [mm]\max\{N_{u}, N_{g}\}[/mm] schreiben um den größeren Index zu
> erhalten. Wenn ich dich grade richtig verstanden habe.
Es war [mm] $N_u=7$ [/mm] und [mm] $N_g=20\,.$ [/mm] Würde das denn passen?
Beachte:
Die "ungerade Teilfolge" [mm] ($\leftarrow$ unschöne Kurzbezeichnung für 'Teilfolge über alle ungeraden Indizes') schreibe mal als eigene Folge $(b_n)_n\,.$
Bei
$$(a_{2n-1})_n \equiv (b_n)_n$$
ist $n\,$ der Index der Folge $(b_n)_n$ und zeigt den Zusammenhang zu $(a_n)_n$ auf:
$b_1=a_1\,,$ $b_2=a_3\,,$ $b_3=a_5\,$ ... $b_k=a_{2k-1}\,,$ ...
Das erste Folgenglied von $(b_n)_n$ ist $a_1\,,$ das zweite ist $a_{2\cdot 2-1}=a_3\,,$ das 3e ist $a_{2 \cdot 3-1}=a_5$ usw.
> Ich verstehe aber immer noch nicht, wieso ich die
> "Grenzen" mit 2 multiplizieren soll.
Jetzt vielleicht klarer?
Gruß,
Marcel
[/mm]
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