Konvergenz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mi 20.12.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Seien [mm] \summe_{k} a_{k} [/mm] eine Reihe und [mm] (b_{k})_{k}eine [/mm] Beschränkte Folge.
Beweisen oder Wiederlegen (beispiel reicht zum wiederlegen) sie:
a) ist [mm] \summe_{k} a_{k} [/mm] absolut konvergent, dann auch [mm] \summe_{k} a_{k} b_{k}
[/mm]
b) Ist [mm] \summe_{k} a_{k} [/mm] konvergent, dann auch [mm] \summe_{k} a_{k} b_{k} [/mm] |
ich habe nicht mal die leiseste Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll!
Ein Tipp währe nicht schlecht , eine Musterlösung währe vielleicht sogar besser, aber nur wenn jeder "Denkschritt" ausreichend dokumentiert ist.
Vielen Dank im Voraus!
Christoph
PS ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 20.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Christoph!
> Seien [mm]\summe_{k} a_{k}[/mm] eine Reihe und [mm](b_{k})_{k}eine[/mm]
> Beschränkte Folge.
> Beweisen oder Wiederlegen (beispiel reicht zum wiederlegen)
> sie:
>
> a) ist [mm]\summe_{k} a_{k}[/mm] absolut konvergent, dann auch
> [mm]\summe_{k} a_{k} b_{k}[/mm]
'beschränkt' heißt doch hoffentlich 'nach beiden Seiten beschränkt',
also |[mm]b_{k}[/mm]| [mm] \le [/mm] S.
Aber damit kannst du die Summe der Beträge sofort abschätzen!
> b) Ist [mm]\summe_{k} a_{k}[/mm]
> konvergent, dann auch [mm]\summe_{k} a_{k} b_{k}[/mm]
Hier kannst du dir aus 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +.... und der Folge 1, -1, 1, -1, ...
ein Gegenbeispiel zaubern.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 20.12.2006 | | Autor: | CPH |
Erst einmal vielen Dank für die tipps, das Beispiel konnte ich Konstruieren.
Ich verstehe nicht wie ich die Summe der Beträge abschätzen soll,
ich verstehe auch absolute Konvergenz nicht ganz, absolute Konvergenz heißt doch, dass [mm] \summe_{k} [/mm] | [mm] a_{k} [/mm] | konvergent ist, was dass aber jetzt konkret heißt weiß ich nicht, ich wieß nur dass aus dem Quotientenkriterium absolute Konvergenz folgt, aber ich wüsste nicht, wie ich das hierauf anwenden soll.
Vielleicht gibt es ja ein einfaches, dafür verständliches Beispiel?
Vielen Dank für ihre Mühe
Christoph
PS ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo CPH!
Wenden wir einfach statler's Tipp mit [mm] $\red{\left|b_k\right| \ \le \ S}$ [/mm] an und setzen ein:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left|a_k*b_k\right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left|a_k\right|*\red{\left|b_k\right|} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left|a_k\right|*\red{S} [/mm] \ = \ [mm] S*\summe_{k=0}^{\infty}\left|a_k\right|$
[/mm]
Und da die Konvergenz von [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left|a_k\right|$ [/mm] Voraussetzung war, ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Do 21.12.2006 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, jetzt hab ichs!
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