Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme a) den Grenzwert a der Folge [mm] $a_n$ [/mm] und b) ein N(e) für alle $e > 0 $mit [mm] $|a_n [/mm] - a| < e$ für alle $ n [mm] \ge [/mm] N(e)$, speziell für $e = 1/100$ |
Nun, zu a)
Ich erhalte den Grenzwert 1/3 durch Herausheben des Faktors [mm] $n^2$ [/mm] im Zähler sowie im Nenner und durch Anwenden der Grenzwert-Rechenregeln.
b)
[mm] $|a_n [/mm] - a|$ = [mm] $|\frac{n^2 - 1}{3n^2 + 1} [/mm] - 1/3| = [mm] |\frac{3n^2 - 4}{3*(3n^2+1)}| [/mm] $
Nun müsste ich das letzte Ergebnis kleiner e setzen:
$ [mm] |\frac{3n^2 - 4}{3*(3n^2+1)}| [/mm] < e = [mm] |\frac{3n^2 - 4}{3*(3n^2+1)}| [/mm] < 1/100 $
Ich komme an dieser Stelle nicht weiter und bezweifle, bisher auch korrekt vorgegangen zu sein.
Daher wäre mir eine Hilfe sehr recht :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Fr 19.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme a) den Grenzwert a der Folge [mm]a_n[/mm] und b) ein N(e)
> für alle [mm]e > 0 [/mm]mit [mm]|a_n - a| < e[/mm] für alle [mm]n \ge N(e)[/mm],
> speziell für [mm]e = 1/100[/mm]
> Nun, zu a)
>
> Ich erhalte den Grenzwert 1/3 durch Herausheben des Faktors
> [mm]n^2[/mm] im Zähler sowie im Nenner und durch Anwenden der
> Grenzwert-Rechenregeln.
>
> b)
>
> [mm]|a_n - a|[/mm] = [mm]|\frac{n^2 - 1}{3n^2 + 1} - 1/3| = |\frac{3n^2 - 4}{3*(3n^2+1)}|[/mm]
da hast Du Dich aber gewaltig verrechnet !
Es ist
[mm] |\frac{n^2 - 1}{3n^2 + 1} [/mm] - 1/3| = [mm] \frac{4}{3*(3n^2+1)}
[/mm]
FRED
>
> Nun müsste ich das letzte Ergebnis kleiner e setzen:
>
> [mm]|\frac{3n^2 - 4}{3*(3n^2+1)}| < e = |\frac{3n^2 - 4}{3*(3n^2+1)}| < 1/100[/mm]
>
> Ich komme an dieser Stelle nicht weiter und bezweifle,
> bisher auch korrekt vorgegangen zu sein.
>
> Daher wäre mir eine Hilfe sehr recht :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ja das stimmt, sehr peinlich!
Dann also:
$\frac{4}{9n^2 + 3} < e => e*(9n^2 + 3) > 4$ [da n eine natürliche Zahl ist wird der Nenner nie kleinergleich 0] $=> 9n^2 > \frac{4}{e} - 3 => n^2 > \frac{\frac{4}{e}-3}{9} $
Also $ n > \sqrt{\frac{\frac{4}{e}-3}{9}$
Also muss mein n > 6,642... sein, d.h. $n \ge N(e) = 7$ ?
Durch Probe ergibt sich dann für e = 1/100
$a_6 - 1/3 > 1/100$
aber
$a_7 - 1/3 < 1/100$ und für alle Nachfolgeglieder.
_ _ _
Allgemein gilt also dann für diese Folge
$ n > \sqrt\frac{4/e - 3}{9} $
?
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Hallo,
> Dann also:
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> [mm]\frac{4}{9n^2 + 3} < e => e*(9n^2 + 3) > 4[/mm] [da n eine
> natürliche Zahl ist wird der Nenner nie kleinergleich 0]
> [mm]=> 9n^2 > \frac{4}{e} - 3 => n^2 > \frac{\frac{4}{e}-3}{9}[/mm]
>
> Also [mm]n > \sqrt{\frac{\frac{4}{e}-3}{9}[/mm]
>
Das ist zwar (mit dem Doppelbruch) etwas umständlich notiert, stimmt aber. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also muss mein n > 6,642... sein, d.h. [mm]n \ge N(e) = 7[/mm] ?
Richtig.
>
> Durch Probe ergibt sich dann für e = 1/100
> [mm]a_6 - 1/3 > 1/100[/mm]
> aber
> [mm]a_7 - 1/3 < 1/100[/mm] und für alle Nachfolgeglieder.
>
> _ _ _
>
> Allgemein gilt also dann für diese Folge
>
> [mm]n > \sqrt\frac{4/e - 3}{9}[/mm]
>
Für hinreichend kleine e gilt das, aber das muss man IMO schon dazusagen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
zu deinem letzten Satz habe ich dann doch noch eine Frage:
Per Definition ist doch ein Wert a der Grenzwert/Limes, wenn er die Bedingung erfüllt, dass für alle(!) e > 0 [...] ein solches N(e) zu finden ist.
Nun hast du ja geschrieben, dass dies nur für hinreichend kleine e möglich ist; Da dies dann aber für bestimmte e nicht mehr möglich ist, konvergiert diese Folge demnach überhaupt?
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Hallo Kartoffelchen,
man sollte sich in der Mathematik auch immer über die elementaren Dinge im Klaren sein, die man gerade tut.
Die Ungleichung zur Besimmung von N(e) hast du (zwangsläufig) letztendlich durch Radizieren gelöst. Da steht also jetzt eine Quadratwurzel, und die ist halt für negative Werte nicht definiert.
> Hallo,
>
> zu deinem letzten Satz habe ich dann doch noch eine Frage:
>
> Per Definition ist doch ein Wert a der Grenzwert/Limes,
> wenn er die Bedingung erfüllt, dass für alle(!) e > 0
> [...] ein solches N(e) zu finden ist.
>
> Nun hast du ja geschrieben, dass dies nur für hinreichend
> kleine e möglich ist; Da dies dann aber für bestimmte e
> nicht mehr möglich ist, konvergiert diese Folge demnach
> überhaupt?
Weshalb sollte sie das nicht tun? Der Witz an der Sache ist ja der, dass du e beliebig klein (aber positiv) wählen kannst, und stetst liegen immer noch fast alle* Folgenglieder in der e-Umgebung. Genau diese Tatsache sichert doch die Konvergenz ab, sogar per Definition!
*mit fast alle meint man bei einer unendlichen Folge, dass etwas nur für endlich viele Glieder nicht gelten soll. Hier bedeutet es, dass alle Folgenglieder ab dem N(e).ten in der Umgebung liegen, und das sind natürlich immer noch unendlich viele.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmals,
vielen Dank an dieser Stelle nochmal für eure sehr schnellen Rückmeldungen/Antworten!
Dass ich natürlich für bestimmte e-Werte durch das Bestimmen von N(e) eine negative Wurzel erhalte, war mir zwar schon bewusst;
Allerdings habe ich mich gefragt, ob die Methode "Nach n auflösen" überhaupt sinnvoll ist, wenn man dadurch einer Einschränkung des e-Wertes unterliegt.
D.h. wenn ich einen festen e-Wert habe (wie ich es laut Aufgabenstellung tue), dann ist wohl ein Einsetzen von e in die Ungleichung sinnvoller - nicht?
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Hallo,
> Hallo nochmals,
>
> vielen Dank an dieser Stelle nochmal für eure sehr
> schnellen Rückmeldungen/Antworten!
>
> Dass ich natürlich für bestimmte e-Werte durch das
> Bestimmen von N(e) eine negative Wurzel erhalte, war mir
> zwar schon bewusst;
> Allerdings habe ich mich gefragt, ob die Methode "Nach n
> auflösen" überhaupt sinnvoll ist, wenn man dadurch einer
> Einschränkung des e-Wertes unterliegt.
Natürlich ist sie sinnvoll, es hängt ja davon ab, von welcher Art diese Einschränkung ist. Ich glaube, du solltest dir nochmals klarmachen, was man mit dieser e-Umgebung eigentlich zeigt:
Um einen angenommenen Grenzwert g wird eine Umgebung gelegt in Form des Intervalls (g-e,g+e) (mit e>0 natürlich).
Jetzt setzt man den Betrag der Differenz allg. Folgenglied minus angenommenen Grenzwert kleiner e. Wenn es gelingt zu zeigen, dass die Ungleichung ab einem festen N(e) für alle [mm] n\ge{N} [/mm] gilt, dann bedeutet dies anschaulich, dass ab dem N. Folgenglied alle Glieder näher bei dem angenommenen Grenzwert liegen als e. Und jetzt denkt man sich e beliebig klein und wenn man dann stets so ein N(e) findet, dann ist die Konvergenz gegen g nachgewiesen. Von daher macht die Beschränkung der zulässigen Werte von e hier keine Probleme, da e nach oben beschränkt ist. Wenn es eine untere Schranke für e ungleich Null geben sollte, etwa 1<e, dann hättest du ein Problem. Aber hier haben wir
[mm] e<\bruch{4}{3}
[/mm]
und das ist eben kein Problem.
> D.h. wenn ich einen festen e-Wert habe (wie ich es laut
> Aufgabenstellung tue), dann ist wohl ein Einsetzen von e in
> die Ungleichung sinnvoller - nicht?
Nein. Sinnvoller ist es, in Abhängigkeit von e nach n aufzulösen, und zwar aus den oben genannten Gründen.
Gruß, Diophant
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