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| Aufgabe | Berechne den Grenzwert zur Folge
und gibt zu jedem $e > 0$ ein $N(e)$ an mit$ [mm] |a_n [/mm] -a| < e$ für alle$ n [mm] \ge [/mm] N(e)$
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2 +n +3}{n^2 +1}$ [/mm] |
Diese Aufgabe ist ähnlich wie die von mir bereits in dem Forum gestellte und gelöste. http://www.matheforum.net/read?i=961070
1. Teil: Grenzwert bestimmen.
Hierzu habe ich im Zähler und Nenner [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert und erhalte
[mm] $\frac{1+ 1/n + 3/n^2}{1 + 1/n^2}$
[/mm]
Daraus kann ich den Grenzwert = 1 ersehen.
2. Teil: Epsilon finden.
Hier gehe ich wie bei der anderen Aufgabe vor bzw. gemäß der Aufgabenstellung:
[mm] $|a_n [/mm] - a| = [mm] |a_n [/mm] - 1| = [mm] \frac{n^2 +n +3}{n^2 +1} [/mm] - [mm] \frac{n^2 + 1}{n^2 + 1} [/mm] = [mm] \frac{n +2}{n^2 +1} [/mm] < e.$
So. Nun habe ich einmal versucht, alles auf eine Seite zu bringen und erhalte
[mm] $en^2-n+(e-2) [/mm] > 0$
Wobei ich dan hier nicht weiter gekommen bin. Ich hätte es gerne nach n aufgelöst, komme aber leider nicht voran ;/
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Hallo Kartoffelchen,
> Berechne den Grenzwert zur Folge
> und gibt zu jedem [mm]e > 0[/mm] ein [mm]N(e)[/mm] an mit[mm] |a_n -a| < e[/mm] für
> alle[mm]%2520n%2520%255Cge%2520N(e)[/mm]
> [mm]a_n = \frac{n^2 +n +3}{n^2 +1}[/mm]
> Diese
> Aufgabe ist ähnlich wie die von mir bereits in dem Forum
> gestellte und gelöste.
> http://www.matheforum.net/read?i=961070
>
> 1. Teil: Grenzwert bestimmen.
> Hierzu habe ich im Zähler und Nenner [mm]n^2[/mm] ausgeklammert
> und erhalte
> [mm]\frac{1+ 1/n + 3/n^2}{1 + 1/n^2}[/mm]
> Daraus kann ich den
> Grenzwert = 1 ersehen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Teil: Epsilon finden.
> Hier gehe ich wie bei der anderen Aufgabe vor bzw. gemäß
> der Aufgabenstellung:
>
> [mm]|a_n - a| = |a_n - 1| = \frac{n^2 +n +3}{n^2 +1} - \frac{n^2 + 1}{n^2 + 1} = \frac{n +2}{n^2 +1} < e.[/mm]
Hier solltest du der Sicherheit halber noch Betragstriche um den mittleren Ausdruck schreiben ...
>
> So. Nun habe ich einmal versucht, alles auf eine Seite zu
> bringen und erhalte
> [mm]en^2-n+(e-2) > 0[/mm]
>
> Wobei ich dan hier nicht weiter gekommen bin. Ich hätte es
> gerne nach n aufgelöst, komme aber leider nicht voran ;/
Du musst ja nicht das kleinstmögliche [mm]N(\varepsilon)[/mm] angeben.
Du kannst ja erstmal [mm]\frac{n+2}{n^2+1}[/mm] noch weiter nach oben abschätzen. Dazu kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern
Etwa [mm]\frac{n+2}{n^2+1}\le\frac{2n}{n^2}[/mm] für [mm]n\ge 2[/mm]
Es ist ja [mm]n+2\le 2n[/mm] und [mm]n^2+1 \ge n^2[/mm] (für [mm]n \ge 2[/mm])
Damit kannst du das bequem weiter auflösen ...
Gruß
schachuzipus
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Aha!
Wenn ich damit dann weiterrechne, d.h.
[mm] $2n/n^2 [/mm] = 2/n < e $ und folglich $ n > 2/e $ setze,
dann erhalte ich für e = 1/100, dass
mein $N(e) [mm] \ge [/mm] 201$ sein muss; wobei ich durch vorheriges Probieren schon einmal erhalten habe, dass $ N(e) [mm] \ge [/mm] 102 $ sein muss.
Passt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal vorneweg: Es ist ungünstig, [mm] $e\,$ [/mm] anstatt [mm] $\varepsilon$ [/mm] oder [mm] $\epsilon$ [/mm] zu schreiben -
warum wohl? (Euler...)
> Aha!
>
> Wenn ich damit dann weiterrechne, d.h.
> [mm]2n/n^2 = 2/n < e[/mm] und folglich [mm]n > 2/e[/mm] setze,
Na, Du wählst nun ein [mm] $N(\varepsilon) [/mm] > [mm] 2/\varepsilon$ [/mm] für [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] - wobei Du dabei
wegen der von Schachu vorgeschlagenen Abschätzung auch o.E. [mm] $N(\varepsilon) \ge [/mm] 2$ annehmen solltest!
> dann erhalte ich für e = 1/100, dass
Wozu nun das spezielle?
> mein [mm]N(e) \ge 201[/mm] sein muss;
Beispielsweise kannst Du dann [mm] $N(\varepsilon):=\max\left\{2,\;\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]+1\right\}$ [/mm] setzen!
(Hierbei ist quasi das "o.E. [mm] $N(\varepsilon) \ge [/mm] 2$ mitenthalten"!)
> wobei ich durch vorheriges
> Probieren schon einmal erhalten habe, dass [mm]N(e) \ge 102[/mm]
> sein muss.
> Passt das so?
Ja, irgendwie schon - aber ich schreibe Dir das Ganze doch lieber nochmal
in vernünftiger Reihenfolge auf:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sei [mm] $N_1 \in \left\{m \in \IN:\;\;m > \frac{2}{\varepsilon}\right\}$ [/mm] (die Menge, die rechterhand bei der Wahl von
[mm] $N_1$ [/mm] auftaucht, ist nicht leer - warum?). Wir definieren [mm] $N(\varepsilon):=\max\{2,\,N_1\}\,.$ [/mm] Dann gilt
für alle $n [mm] \ge N(\varepsilon)$
[/mm]
[mm] $$\red{\;|a_n-a|\;} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\le\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; [/mm] ... [mm] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\stackrel{\text{wegen }n \ge N(\varepsilon) \ge 2}{\le}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{2}{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\stackrel{\text{wegen }n \ge N(\varepsilon) \ge N_1 > 2/\varepsilon}{\red{\;<\;}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \red{\;\varepsilon\;}\,.$$
[/mm]
P.S. Beachte: [mm] $N_1=N_1(\varepsilon)$ [/mm] - insbesondere kannst Du auch [mm] $N_1:=\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]+1$ [/mm] speziell setzen!
(Hiebei ist [mm] $[x]:=\max\{z \in \IZ \text{ mit }z \le x\}$ [/mm] - die sogenannte Gaußklammer von [mm] $x\,.$) [/mm]
P.P.S. Um das von Schachuzipus Gesagte nochmal zu betonen: Wenn Du
eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] hast, und nachzuweisen hast, dass es zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$
ein [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] so gibt, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ dann schon [mm] $|x_n-x| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
folgt, so muss das [mm] $N\,$ [/mm] nicht "minimal" sein. Wenn Du etwa [mm] $N_0$ [/mm] so gefunden
hast, dass [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_0:$ $|x_n-x| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt, so kannst Du einfach
auch [mm] $\tilde{N}_0:=N_0+k$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] betrachten. Dann gilt natürlich
auch für alle $n [mm] \ge \tilde{N}_0$ [/mm] wegen $n [mm] \ge \tilde{N}_0 \ge N_0\,,$ [/mm] dass [mm] $|x_n-x| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Und da die Wahl eines [mm] $N_1$ [/mm] wie oben schon nach einer "vergröberten
Abschätzung" von [mm] $|a_n-a|\,$ [/mm] entstanden war, ist anzunehmen, dass weder
das [mm] $N_1$ [/mm] hier "minimal" noch dann [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] "minimal" gefunden ist.
Aber das wurde ja auch in der Aufgabe nicht explizit verlangt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne den Grenzwert zur Folge
> und gibt zu jedem [mm]e > 0[/mm] ein [mm]N(e)[/mm] an mit[mm] |a_n -a| < e[/mm] für
> alle[mm] n \ge N(e)[/mm]
> [mm]a_n = \frac{n^2 +n +3}{n^2 +1}[/mm]
> Diese
> Aufgabe ist ähnlich wie die von mir bereits in dem Forum
> gestellte und gelöste.
> http://www.matheforum.net/read?i=961070
>
> 1. Teil: Grenzwert bestimmen.
> Hierzu habe ich im Zähler und Nenner [mm]n^2[/mm] ausgeklammert
> und erhalte
> [mm]\frac{1+ 1/n + 3/n^2}{1 + 1/n^2}[/mm]
> Daraus kann ich den
> Grenzwert = 1 ersehen.
>
> 2. Teil: Epsilon finden.
> Hier gehe ich wie bei der anderen Aufgabe vor bzw. gemäß
> der Aufgabenstellung:
>
> [mm]|a_n - a| = |a_n - 1| = \frac{n^2 +n +3}{n^2 +1} - \frac{n^2 + 1}{n^2 + 1} = \frac{n +2}{n^2 +1} < e.[/mm]
>
> So. Nun habe ich einmal versucht, alles auf eine Seite zu
> bringen und erhalte
> [mm]en^2-n+(e-2) > 0[/mm]
>
> Wobei ich dan hier nicht weiter gekommen bin. Ich hätte es
> gerne nach n aufgelöst, komme aber leider nicht voran ;/
das wäre, wie wir ja schon gesehen haben, umständlich gewesen, aber wäre
auch gegangen:
[mm] $$\varepsilon n^2-n+(\varepsilon [/mm] -2) > 0$$
[mm] $$\iff \varepsilon (n^2-\tfrac{1}{\varepsilon}n+(1-\tfrac{2}{\varepsilon})) [/mm] > 0$$
[mm] $$\stackrel{\text{bea.: }\varepsilon > 0}{\iff} n^2-\tfrac{1}{\varepsilon}n+(1-\tfrac{2}{\varepsilon}) [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Erinnere Dich jetzt mal an "Parabeln" und deren Scheitelpunkt, deren Nullstellen
und sowas...
(betrachte [mm] $\IN \ni [/mm] n [mm] \mapsto n^2-\tfrac{1}{\varepsilon}n+(1-\tfrac{2}{\varepsilon})$ [/mm] als Funktion in $x [mm] \in \IR$ [/mm] indem Du $n [mm] \in \IN$ [/mm] durch $x [mm] \in \IR$ [/mm]
ersetzt...
Grund/Idee: Das hat damit zu tun, dass für $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] halt [mm] $f_{|\IN} \colon \IN \to \IR$... [/mm] d.h., wenn
wir solch ein $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] gut untersuchen können, können wir vermutlich viele
Ergebnisse auf [mm] $f_{|\IN}$ [/mm] übertragen...)
P.S. Wenn man so weiterrechnet, findet man auch das "minimale" [mm] $N\,$ [/mm] zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{100}$:
[/mm]
Wegen [mm] $\frac{1}{4\varepsilon^2}+\frac{2}{\varepsilon}-1 [/mm] > 0$ (das kannst Du selbst nachrechnen für [mm] $\varepsilon=1/100$) [/mm] ist das minimale
[mm] $N\,,$ [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ auch [mm] $|a_n-a| [/mm] < 1/100$ gilt, dann vermittels
[mm] $$N:=\left[\frac{1}{2\varepsilon}+\sqrt{\,\frac{1}{4\varepsilon^2}+\frac{2}{\varepsilon}-1\;}\;\right]+1=[50+\sqrt{2699}]+1=101+1=102$$
[/mm]
gegeben.
Gruß,
Marcel
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