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| Aufgabe | Bsp.: (Soll zeigen, dass stochastische Konvergenz die Konvergenz f.s. nicht impliziert)
Jedes [mm]n\in\IN[/mm] hat eine eind. Zerlegung der Gestalt [mm]n=2^k+j, \ \ 0\le j<2^k, \ \ j,k\in\IN_0[/mm]
Definiere zu jedem [mm]n=2^k+j \ \ \ A_n:=\left[j2^{-k},(j+1)2^{-k}\right[[/mm] und [mm]X_n:=1_{A_n}[/mm] (Indikatorfunkton auf [mm]A_n[/mm])
Wir setzen [mm]\Omega:=[0,1[, \ \mathcal F=\mathcal B\mid[0,1[[/mm] und [mm]\mathbb P:=\lambda\mid\mathcal F[/mm], so ist auf dem W-Raum [mm](\Omega,\mathcal F,\mathbb P)[/mm] die Folge [mm](X_n(\omega))_{n\in\IN}[/mm] für kein [mm]\omega\in\Omega[/mm] konvergent. |
Moin zusammen!
Kurz zu den Begrifflichkeiten:
1) stochast. Konvergenz: Eine Folge von reellen ZV [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert stochast. gegen eine reelle ZV [mm]X[/mm], falls:
[mm]\forall\varepsilon>0: \mathbb P\left(|X_n-X|\ge \varepsilon\right)\longrightarrow 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
2) Konvergenz f.s.: Es gibt eine [mm]\mathbb P[/mm]-Nullmenge [mm]N[/mm], so dass [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] auf [mm]N^c[/mm] punktweise gegen [mm]X[/mm] konvergiert.
Nun die Unklarheit:
Dass obige Folge stochast. gegen [mm]X=0[/mm] konvergiert, ist schnell einzusehen, aber es wird - wie im Beispieltext zu lesen ist - nur lapidar gesagt, dass sie nicht f.s. konvergiere.
Wenn ich aber bel. [mm]\omega\in [0,1[[/mm] hernehme und mir die Folge [mm](X_n(\omega))_{n\in\IN}[/mm] anschaue, so konvergieren doch die [mm]A_n[/mm] gegen [mm]\emptyset[/mm], also [mm]X_n(\omega)\longrightarrow 1_{\emptyset}(\omega)=0=X(\omega)[/mm]
Also hat man doch punktweise Konvergenz auf ganz [mm]\Omega[/mm], oder nicht?
Irgendwas ist bei mir im Hirn durcheinander geraten, aber ich kann es nicht entdecken ...
Es wäre entzückend, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Danke vorab!
Gruß und schönen Sonntag!
schachuzipus
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> Bsp.: (Soll zeigen, dass stochastische Konvergenz die
> Konvergenz f.s. nicht impliziert)
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> Jedes [mm]n\in\IN[/mm] hat eine eind. Zerlegung der Gestalt [mm]n=2^k+j, \ \ 0\le j<2^k, \ \ j,k\in\IN_0[/mm]
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> Definiere zu jedem [mm]n=2^k+j \ \ \ A_n:=\left[j2^{-k},(j+1)2^{-k}\right[[/mm]
> und [mm]X_n:=1_{A_n}[/mm] (Indikatorfunkton auf [mm]A_n[/mm])
>
> Wir setzen [mm]\Omega:=[0,1[, \ \mathcal F=\mathcal B\mid[0,1[[/mm]
> und [mm]\mathbb P:=\lambda\mid\mathcal F[/mm], so ist auf dem W-Raum
> [mm](\Omega,\mathcal F,\mathbb P)[/mm] die Folge
> [mm](X_n(\omega))_{n\in\IN}[/mm] für kein [mm]\omega\in\Omega[/mm]
> konvergent.
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> Moin zusammen!
>
> Kurz zu den Begrifflichkeiten:
>
> 1) stochast. Konvergenz: Eine Folge von reellen ZV
> [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert stochast. gegen eine reelle ZV
> [mm]X[/mm], falls:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0: \mathbb P\left(|X_n-X|\ge \varepsilon\right)\longrightarrow 0[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> 2) Konvergenz f.s.: Es gibt eine [mm]\mathbb P[/mm]-Nullmenge [mm]N[/mm], so
> dass [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] auf [mm]N^c[/mm] punktweise gegen [mm]X[/mm]
> konvergiert.
>
> Nun die Unklarheit:
>
> Dass obige Folge stochast. gegen [mm]X=0[/mm] konvergiert, ist
> schnell einzusehen, aber es wird - wie im Beispieltext zu
> lesen ist - nur lapidar gesagt, dass sie nicht f.s.
> konvergiere.
>
> Wenn ich aber bel. [mm]\omega\in [0,1[[/mm] hernehme und mir die
> Folge [mm](X_n(\omega))_{n\in\IN}[/mm] anschaue, so konvergieren
> doch die [mm]A_n[/mm] gegen [mm]\emptyset[/mm], also
> [mm]X_n(\omega)\longrightarrow 1_{\emptyset}(\omega)=0=X(\omega)[/mm]
Hier müsstest du erstmal sagen, in welchem Sinne du die Konvergenz der [mm] A_n [/mm] gegen [mm] \emptyset [/mm] verstehst und wenn du das versuchst zu präzisieren, so kommst du auf stochastische Konvergenz der charakteristischen Funktionen.
Die Folge ist aber nicht fast sicher konvergent, denn:
zu jedem [mm] $\omega\in[0,1[$ [/mm] und jedem [mm] k\in\IN [/mm] gibt es ein (eindeutiges) j mit [mm] $\omega\in\left[j2^{-k},(j+1)2^{-k}\right[$
[/mm]
Das bedeutet, dass es für festes [mm] $\omega$ [/mm] unendlich viele $n$ gibt mit [mm] $X_n(\omega)=1$.
[/mm]
Damit ist [mm] $(X_n(\omega))=1$ [/mm] keine Nullfolge.
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> Also hat man doch punktweise Konvergenz auf ganz [mm]\Omega[/mm],
> oder nicht?
>
> Irgendwas ist bei mir im Hirn durcheinander geraten, aber
> ich kann es nicht entdecken ...
>
> Es wäre entzückend, wenn mir jemand auf die Sprünge
> helfen könnte.
>
> Danke vorab!
>
> Gruß und schönen Sonntag!
>
> schachuzipus
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Hallo don,
erstmal danke für die Antwort. Das ergibt Sinn!
> Hier müsstest du erstmal sagen, in welchem Sinne du die
> Konvergenz der [mm]A_n[/mm] gegen [mm]\emptyset[/mm] verstehst und wenn du
> das versuchst zu präzisieren, so kommst du auf
> stochastische Konvergenz der charakteristischen
> Funktionen.
>
> Die Folge ist aber nicht fast sicher konvergent, denn:
> zu jedem [mm]\omega\in[0,1[[/mm] und jedem [mm]k\in\IN[/mm] gibt es ein
> (eindeutiges) j mit
> [mm]\omega\in\left[j2^{-k},(j+1)2^{-k}\right[[/mm]
> Das bedeutet, dass es für festes [mm]\omega[/mm] unendlich viele [mm]n[/mm]
> gibt mit [mm]X_n(\omega)=1[/mm].
> Damit ist [mm](X_n(\omega))=1[/mm] keine Nullfolge.
In einem Buch gab es ein ähnliches Beispiel, dort waren allerdings die Grenzen der [mm]A_n[/mm] beidseitig offen. Ich habe den Eindruck dass deine Antwort dann nicht mehr gilt, denn für zB. [mm]\omega=\frac{1}{2}[/mm] und [mm]k=1[/mm] kann man durch kein [mm]j[/mm] der Welt das [mm]\omega[/mm] in einem [mm]A_n[/mm] einfangen ...
Ebenso müssten aller Potenzen dieses [mm]\omega[/mm] nicht eingefangen.
Das scheint mir ein Fehler in dem Buchbsp. zu sein - eine Intervallgrenze sollte abgeschlossen sein ...
Was meinst du?
PS: Ich schreibe vllt. mal das Buchbsp. im Wortlaut auf ...
[mm]P=\lambda\mid\mathcal B\cap (0,1), \ X_{2^n+k-1}=1_{\left((k-1)2^{-n},k2^{-n}\right)}, \ k=1,\ldots, 2^n[/mm]
Etwas anders also ...
Gruß
schachuzipus
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Der Unterschied zwischen offenen und halboffenenen Intervallen betrifft jeweikls nur die Intervallgrenzen und somit eine (abzählbare) Nullmenge. D. h. dann funktioniert das Beispiel zwar nicht mehr für alle [mm] $\omega\in[0,1[$, [/mm] aber immer noch außerhalb einer Nullmenge.
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