Konvergenzbereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Do 18.04.2013 | | Autor: | ralfr |
| Aufgabe | Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als auch die Summe von:
[mm] $1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...$ [/mm] |
Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst einmal in eine Potenzreihe zu bringen:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n$ [/mm] müsste das ja sein.
Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher. Muss ich da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2} [/mm] = 1
Die Reihe konvergiert also für $|x| < 1$ für x= 1 divergiert sie bereits wieder.
Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme ich nun die Summe heraus?
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Hallo ralfr,
> Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als auch die
> Summe von:
> [mm]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...[/mm]
>
> Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine
> Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst einmal in
> eine Potenzreihe zu bringen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n[/mm] müsste das ja sein.
> Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher. Muss ich
> da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}[/mm] = 1
> Die Reihe konvergiert also für [mm]|x| < 1[/mm] für x= 1
> divergiert sie bereits wieder.
>
> Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme ich nun die
Ja, der Ansatz ist richtig.
> Summe heraus?
Benutze dafür die geometrische Reihe und differenziere diese.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 18.04.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
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> > Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als auch die
> > Summe von:
> > [mm]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...[/mm]
> >
> > Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine
> > Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst einmal in
> > eine Potenzreihe zu bringen:
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n[/mm] müsste das ja sein.
> > Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher. Muss
> ich
> > da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}[/mm] = 1
> > Die Reihe konvergiert also für [mm]|x| < 1[/mm] für x= 1
> > divergiert sie bereits wieder.
> >
> > Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme ich nun die
>
>
> Ja, der Ansatz ist richtig.
>
>
> > Summe heraus?
>
>
> Benutze dafür die geometrische Reihe und differenziere
> diese.
>
Wie genau meinst du das?
Die geometrische Reihe ist ja:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_0 q^n= \frac{a_0}{1-q}$
[/mm]
und das soll ich nun differenzieren?
dann komme ich auf
[mm] $\frac{a_0}{(q-1)^2}$
[/mm]
aber wie soll das helfen?
>
> Gruss
> MathePower
>
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Hallo ralfr,
> > Hallo ralfr,
> >
> > > Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als auch die
> > > Summe von:
> > > [mm]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...[/mm]
> > >
> > > Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine
> > > Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst einmal in
> > > eine Potenzreihe zu bringen:
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n[/mm] müsste das ja sein.
> > > Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher.
> Muss
> > ich
> > > da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}[/mm] = 1
> > > Die Reihe konvergiert also für [mm]|x| < 1[/mm] für x= 1
> > > divergiert sie bereits wieder.
> > >
> > > Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme ich nun die
> >
> >
> > Ja, der Ansatz ist richtig.
> >
> >
> > > Summe heraus?
> >
> >
> > Benutze dafür die geometrische Reihe und differenziere
> > diese.
> >
> Wie genau meinst du das?
> Die geometrische Reihe ist ja:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_0 q^n= \frac{a_0}{1-q}[/mm]
> und das
> soll ich nun differenzieren?
> dann komme ich auf
> [mm]\frac{a_0}{(q-1)^2}[/mm]
> aber wie soll das helfen?
Betrachte die Reihe [mm]\sum\limits_{n=\red 0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm] für [mm]|x|<1[/mm]
Differenziere auf beiden Seiten und du hast:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
Und [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}[/mm]
Nun noch eine kleine Indexverschiebung und fertig ist die Laube ...
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 18.04.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
>
> > > Hallo ralfr,
> > >
> > > > Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als auch
> die
> > > > Summe von:
> > > > [mm]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...[/mm]
> > > >
> > > > Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine
> > > > Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst
> einmal in
> > > > eine Potenzreihe zu bringen:
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n[/mm] müsste das ja sein.
> > > > Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher.
> > Muss
> > > ich
> > > > da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}[/mm] = 1
> > > > Die Reihe konvergiert also für [mm]|x| < 1[/mm] für x= 1
> > > > divergiert sie bereits wieder.
> > > >
> > > > Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme ich
> nun die
> > >
> > >
> > > Ja, der Ansatz ist richtig.
> > >
> > >
> > > > Summe heraus?
> > >
> > >
> > > Benutze dafür die geometrische Reihe und
> differenziere
> > > diese.
> > >
> > Wie genau meinst du das?
> > Die geometrische Reihe ist ja:
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_0 q^n= \frac{a_0}{1-q}[/mm]
> > und
> das
> > soll ich nun differenzieren?
> > dann komme ich auf
> > [mm]\frac{a_0}{(q-1)^2}[/mm]
> > aber wie soll das helfen?
>
> Betrachte die Reihe [mm]\sum\limits_{n=\red 0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
> für [mm]|x|<1[/mm]
>
> Differenziere auf beiden Seiten und du hast:
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> Und
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}[/mm]
>
> Nun noch eine kleine Indexverschiebung und fertig ist die
> Laube ...
>
Danke vielmals :)
also sehe ich das nun richtig, dass
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2} [/mm] $ ist?
>
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> > >
> >
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo ralfr,
> > Hallo ralfr,
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> > > > Hallo ralfr,
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> > > > > Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als
> auch
> > die
> > > > > Summe von:
> > > > > [mm]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...[/mm]
> > > > >
> > > > > Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine
> > > > > Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst
> > einmal in
> > > > > eine Potenzreihe zu bringen:
> > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n[/mm] müsste das ja
> sein.
> > > > > Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher.
> > > Muss
> > > > ich
> > > > > da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}[/mm] = 1
> > > > > Die Reihe konvergiert also für [mm]|x| < 1[/mm] für x=
> 1
> > > > > divergiert sie bereits wieder.
> > > > >
> > > > > Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme
> ich
> > nun die
> > > >
> > > >
> > > > Ja, der Ansatz ist richtig.
> > > >
> > > >
> > > > > Summe heraus?
> > > >
> > > >
> > > > Benutze dafür die geometrische Reihe und
> > differenziere
> > > > diese.
> > > >
> > > Wie genau meinst du das?
> > > Die geometrische Reihe ist ja:
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_0 q^n= \frac{a_0}{1-q}[/mm]
> > >
> und
> > das
> > > soll ich nun differenzieren?
> > > dann komme ich auf
> > > [mm]\frac{a_0}{(q-1)^2}[/mm]
> > > aber wie soll das helfen?
> >
> > Betrachte die Reihe [mm]\sum\limits_{n=\red 0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
> > für [mm]|x|<1[/mm]
> >
> > Differenziere auf beiden Seiten und du hast:
> >
> >
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
> >
> > Und
> >
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}[/mm]
> >
> > Nun noch eine kleine Indexverschiebung und fertig ist die
> > Laube ...
> >
>
> Danke vielmals :)
> also sehe ich das nun richtig, dass
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
> ist?
Ja, das siehst Du richtig.
> >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > > >
> > >
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 18.04.2013 | | Autor: | ralfr |
Allerdings gilt dass dann nur für |x|<1?
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Hallo ralfr,
> Allerdings gilt dass dann nur für |x|<1?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Fr 19.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie sowohl den Konvergenzbereich, als auch die
> Summe von:
> [mm]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...[/mm]
>
> Hallo, bei der Aufgabe habe ich wirklich meine
> Schwierigkeiten. Meine Idee wäre es, dies erst einmal in
> eine Potenzreihe zu bringen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*x^n[/mm] müsste das ja sein.
> Beim Konvergenzbereich bin ich mir nicht sicher. Muss ich
> da einfach den Konvergenzradius ausrechnen?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n+2}[/mm] = 1
> Die Reihe konvergiert also für [mm]|x| < 1[/mm] für x= 1
> divergiert sie bereits wieder.
>
> Ist der Ansatz so schonmal richtig? Wie bekomme ich nun die
> Summe heraus?
Du kannst auch das Cauchyprodukt von $ [mm] \sum\limits_{n= 0}^{\infty}x^n$ [/mm] mit sich selbst berechnen.
fred
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