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| Aufgabe | Bestimme die Konvergenzbereiche folgender Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n [/mm] |
Meine Lösungsversuch:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n
[/mm]
Ich habe mich mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}
[/mm]
Betragsstriche kann ich weglassen, weil der Ausdruck nur positive Werte annehmen kann.
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*x^{n+1}}{(ln(n))^n*x^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*x^{1}}{(ln(n))^n}
[/mm]
Irgendwie bringt mich des aber nicht weiter oder?
b) [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n
[/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{e^n*(x-2)^n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n \to \infty}e^1*(x-2)^1
[/mm]
Also den zweiten Schritt hab ich über die Potenzgesetzte gemacht. Scheint mir aber irgendwie völliger Blödsinn zu sein. Ich hab ja dann gar kein n mehr, das ich gegen [mm] \infty [/mm] streben lassen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 15.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Beides schreit nach Wurzelkriterium!
DieAcht
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Ok neuer Versuch mit dem Wurzelkriterium:
Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|(ln(n))^n*x^n|}
= \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{(ln(n))^n}*\wurzel[n]{x^n}
= \limes_{n \to \infty}ln(n)*x [/mm]
Kann es sein dass mein Konvergenzbereich von x abhängt? Beim Wurzelkriterium muss ich schauen wo hin der Ausdruck strebt.
>1 -> Divergenz
<1 -> Konvergenz
=1 -> keine Aussage
Nur wie komm ich dann auf den Konvergenzradius? Beim Quotientenkriterium muss ich dann den Kehrwert bilden. Ist das beim Wurzelkriterium auch so?
b) [mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|e^n*(x-2)^n|}
= \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{e^n}*\wurzel[n]{(x-2)^n}
= \limes_{n \to \infty}e*(x-2)= \limes_{n \to \infty}ex-2e [/mm]
Nun muss ich wieder für verschiedene x Werte unterscheiden.
x<1/e +2 -> Konvergenz
x>1/e +2 -> Divergenz
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Aber wenn ich die n-te Wurzel von [mm] (ln(n))^n [/mm] betrachte, heben sich doch wurzel und exponent auf oder?
also muss ich nur ln(n) betrachten.
und da [mm] r=\bruch{1}{\limes_{n \to \infty}ln(n)} [/mm] und mein Nenner gegen [mm] +\infty [/mm] strebt ist r=0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:10 Mo 16.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Aber wenn ich die n-te Wurzel von [mm](ln(n))^n[/mm] betrachte,
> heben sich doch wurzel und exponent auf oder?
> also muss ich nur ln(n) betrachten.
> und da [mm]r=\bruch{1}{\limes_{n \to \infty}ln(n)}[/mm] und mein
> Nenner gegen [mm]+\infty[/mm] strebt ist r=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo bavarian!
> b) [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|e^n*(x-2)^n|}
= \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{e^n}*\wurzel[n]{(x-2)^n}
= \limes_{n \to \infty}e*(x-2)= \limes_{n \to \infty}ex-2e[/mm]
Siehe oben: es reicht [mm] "e^n$ [/mm] zu betrachten.
> Nun muss ich wieder für verschiedene x Werte
> unterscheiden.
> x<1/e +2 -> Konvergenz
> x>1/e +2 -> Divergenz
Was ist mit $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{e}+2$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Konvergenzbereiche folgender Potenzreihen:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n[/mm]
> Meine
> Lösungsversuch:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n[/mm]
>
> Ich habe mich mit dem Quotientenkriterium versucht:
> [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
>
> Betragsstriche kann ich weglassen, weil der Ausdruck nur
> positive Werte annehmen kann.
Nein, das kannst Du nicht, wenn Du das x mitschleppst !
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*x^{n+1}}{(ln(n))^n*x^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*x^{1}}{(ln(n))^n}[/mm]
Korrekt:
[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*|x|^{n+1}}{(ln(n))^n*|x|^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*|x|}{(ln(n))^n}[/mm]
>
> Irgendwie bringt mich des aber nicht weiter oder?
Doch !
Überlege Dir, dass
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*|x|}{(ln(n))^n}= \infty [/mm] ist für x [mm] \ne [/mm] 0.
Das bedeutet: die Potenzreihe konvergiert nur für x=0.
>
> b) [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n[/mm]
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{e^n*(x-2)^n}[/mm]
Korrekt:
[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*|x-2|^{n+1}}{e^n*|x-2|^n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n \to \infty}e^1*(x-2)^1[/mm]
Korrekt:
= [mm]\limes_{n \to \infty}e*|x-2|[/mm]= $e*|x-2|$
Nun bemühe das QK !
> Also den zweiten
> Schritt hab ich über die Potenzgesetzte gemacht. Scheint
> mir aber irgendwie völliger Blödsinn zu sein. Ich hab ja
> dann gar kein n mehr, das ich gegen [mm]\infty[/mm] streben lassen
> kann.
>
Sowas kommt vor.
FRED
P.S: die Acht hat recht, mit dem WK gehts schneller !
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