Konvergenzbereich Taylor-Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 22.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo. Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich den Konvergenzbereich folgender Taylor-Reihe bestimmen kann?
[mm] -\summe_{k=0}^{unendlich} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{2^k})*(x-1)^k
[/mm]
LG
|
|
| |
|
Hallo dudu93,
> Hallo. Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich den
> Konvergenzbereich folgender Taylor-Reihe bestimmen kann?
>
> [mm]-\summe_{k=0}^{unendlich}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{2^k})*(x-1)^k[/mm]
>
> LG
Benutze das Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 22.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für den Tipp. Aber dieses Kriterium sagt mir nichts, da wir es in der Vorlesung nicht behandelt haben. Könnte man es auch mit einem "normalen" Kriterium lösen (Quotientenkriterium, usw.)?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke für den Tipp. Aber dieses Kriterium sagt mir nichts,
> da wir es in der Vorlesung nicht behandelt haben. Könnte
> man es auch mit einem "normalen" Kriterium lösen
> (Quotientenkriterium, usw.)?
Das erwähnte Kriterium ist aus dem Wurzelkriterium abgeleitet und "extra" für Potenzreihen.
Wenn du deine Potenzreihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^k}\right)\cdot{}(x-1)^k[/mm] als "normale" Reihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] mit [mm]a_k=\left(1+\frac{1}{2^k}\right)\cdot{}(x-1)^k[/mm] auffasst, kannst du natürlich das QK oder WK anwenden.
Probiere es doch einfach mal aus - kann ja nicht viel passieren ... 
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 22.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Gehört dann der Entwicklungspunkt x-xo auch zum [mm] a_k?
[/mm]
Ich habe jetzt nach dem Cauchy-Gesetz 1 + [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] als ak gesetzt und geschrieben (mit dem Quot.kriterium):
[mm] \summe_{k=0}^{unendlich} [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{unendlich} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{2^{k+1}}) [/mm] : (1 + [mm] \bruch{1}{2^k}) [/mm]
Stimmt das soweit?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Gehört dann der Entwicklungspunkt x-xo auch zum [mm]a_k?[/mm]
Wenn du die Potenzreihe als "normale" Reihe auffasst und das "normale" QK oder WK anwenden möchtest, dann ja, das hatte ich doch geschrieben.
Bei Cauchy-Hadamard brauchst du das [mm](x-x_0)^k[/mm] zunächst in der Rechnung nicht zu betrachten
>
> Ich habe jetzt nach dem Cauchy-Gesetz
Wonach?
> 1 + [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm]
> als ak gesetzt und geschrieben (mit dem Quot.kriterium):
>
> [mm]\summe_{k=0}^{unendlich}[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{unendlich}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{2^{k+1}})[/mm] : (1 +
> [mm]\bruch{1}{2^k})[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Nein, hast du eine Potenzreihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x-x_0)^k[/mm], so berechnet sich der Konvergenzradius [mm]\rho\in [0,\infty][/mm] gem.
[mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}[/mm] mit der Konvention [mm]\frac{1}{0}=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
Oder (so der Quotient definiert ist) [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm]
Du hast dann Konvergenz (absolute) für [mm]|x-x_0|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x-x_0|>\rho[/mm]
Für die "Randpunkte" [mm]|x-x_0|=\rho[/mm] kann man nix sagen, die muss man dann ggfs. separat untersuchen (wenn man alle [mm]x[/mm] angeben soll, für die die Reihe konvergiert).
Wenn nur der Konvergenzradius gesucht ist, reicht es, [mm]\rho[/mm] zu berechnen.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 22.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Meinst du mit dem Konvergenzradius jetzt den Konvergenzbereich? Ist es das selbe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kinvergenzradius r folgt Konvergenzbereich [mm] |x-x_0|
Warum weisst du nicht was ein Konvergenzbereich und ein Konvergenzradius ist?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 22.04.2012 | | Autor: | alenca |
hallo. ich hätte genau die gleiche frage ! kann man das auch einfach mit dem Qoutientenkriterium machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 22.04.2012 | | Autor: | alenca |
hallo, und was bekommt man raus? kann das jemand vielleicht hier ausführlich erklären...also schritt für schritt , wie man bei der aufgabe den konvergenzbereich ausrechnet?? also die rechnung schritt für schritt, komme mit dem qoutientenkriterium nicht ganz auf das ergebniss...
vielen vielen dank!
|
|
|
| |
|
Hallo,
> hallo, und was bekommt man raus? kann das jemand vielleicht
> hier ausführlich erklären...also schritt für schritt ,
> wie man bei der aufgabe den konvergenzbereich ausrechnet??
> also die rechnung schritt für schritt, komme mit dem
> qoutientenkriterium nicht ganz auf das ergebniss...
> vielen vielen dank!
Nö, so löppt dat nicht!
Im thread sind mehrere Möglichkleiten beschrieben, den K-Radius zu berechnen.
Zeige deine Versuche, dann sehen wir, woran es scheitert.
Einfach die Lösung hinzuschreiben, ist nicht im Sinne des Forums.
Die Rechnung sollte keine allzu große Hürde darstellen.
Also zeig' her, was du bisher versucht hast ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 22.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe jetzt versucht, den Konvergenzbereich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zu bestimmen.
Dazu habe ich zuerst die Koeffizienten A und B berechnet und habe raus (nachdem ich die Nullstellen von f berechnet hatte: [mm] x_1=3, x_2=2)
[/mm]
A = 2
B = 1
Also steht jetzt folgendes:
[mm] \bruch{2}{x-3} [/mm]
und
[mm] \bruch{1}{x-2} [/mm]
Die Zahlen im Zähler sind die Koeffizienten, die im Nenner die Nullstellen.
Diese Brüche kann man ja jetzt irgendwie umformen, sodass es eine geometrische Reihe [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] ergibt.
Beim ersten Bruch habe ich geschrieben:
[mm] \bruch{2}{x-3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{-2+x-1} [/mm] ...
Zum zweiten Schritt: Ich habe gelernt, dass im Nenner man eine Zahl dazuschreiben muss, sodass es als Summe die -3 ergibt. Also -2 - 1 = -3.
Weiter komme ich aber nicht. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
LG
|
|
|
| |
|
Hallo dudu93,
> Ich habe jetzt versucht, den Konvergenzbereich mit Hilfe
> der Partialbruchzerlegung zu bestimmen.
>
> Dazu habe ich zuerst die Koeffizienten A und B berechnet
> und habe raus (nachdem ich die Nullstellen von f berechnet
> hatte: [mm]x_1=3, x_2=2)[/mm]
>
> A = 2
>
> B = 1
>
> Also steht jetzt folgendes:
>
> [mm]\bruch{2}{x-3}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm]
>
> Die Zahlen im Zähler sind die Koeffizienten, die im Nenner
> die Nullstellen.
>
> Diese Brüche kann man ja jetzt irgendwie umformen, sodass
> es eine geometrische Reihe [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] ergibt.
>
> Beim ersten Bruch habe ich geschrieben:
>
> [mm]\bruch{2}{x-3}[/mm] = [mm]\bruch{2}{-2+x-1}[/mm] ...
>
> Zum zweiten Schritt: Ich habe gelernt, dass im Nenner man
> eine Zahl dazuschreiben muss, sodass es als Summe die -3
> ergibt. Also -2 - 1 = -3.
>
> Weiter komme ich aber nicht. Über Hilfe wäre ich sehr
> dankbar.
>
Nun, bringe das auf die Gestalt des Grenzwertes einer geometrischen Reihe:
[mm]\bruch{2}{-2+x-1}=\bruch{2}{\left(-2\right)*\left(1+\bruch{x-1}{-2}\right)}=\bruch{2}{\left(-2\right)*\left(1-\bruch{x-1}{2}\right)}[/mm]
Und dafür solltest Du jetzt die geometrische Reihe angeben können.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 22.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Die geometr. Reihe wäre dann:
[mm] \bruch{1}{-(1-\bruch{x-1}{2})}
[/mm]
Und das q wäre in dem Fall [mm] -\bruch{x-1}{2}. [/mm] Das muss kleiner 1 sein, damit Konvergenz vorliegt.
Doch in welchem Bereich ist die Konvergenz nun genau?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo dudu93,
> Die geometr. Reihe wäre dann:
>
> [mm]\bruch{1}{-(1-\bruch{x-1}{2})}[/mm]
>
Nein, das ist doch der endliche Grenzwert der geometrischen Reihe.
> Und das q wäre in dem Fall [mm]-\bruch{x-1}{2}.[/mm] Das muss
> kleiner 1 sein, damit Konvergenz vorliegt.
>
> Doch in welchem Bereich ist die Konvergenz nun genau?
>
Die geometrische konvergiert, wenn [mm]\vmat{\bruch{x-1}{2}}<1[/mm]
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
|
