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| Aufgabe | 1. Entwickeln Sie die Funktion in Taylor-Reihe und finden Sie ihren Konvergenzbereich.
a.) [mm] f(x)=sin^2(x), [/mm] a=0 |
Hallo Forum!
Ich hänge momentan an dieser Aufgabe. Und zwar konnte ich die Taylor-Reihe entwickeln, jedoch weiß ich nicht, wie ich nun den Konvergenzbereich berechnen soll.
Lösungsansatz:
Taylor-Reihe:
[mm] sin^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{2!} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{8}{4!} [/mm] * [mm] x^4 [/mm] + [mm] \bruch{32}{6!} [/mm] * [mm] x^6 [/mm] (Substituion: [mm] t=x^2)
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{2^{2n-1}}{(2n)!} [/mm] * [mm] t^n
[/mm]
Was ist nun der Konvergenzbereich?
Wäre für Tipps sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo HalleyClassic,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1. Entwickeln Sie die Funktion in Taylor-Reihe und finden
> Sie ihren Konvergenzbereich.
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> a.) [mm]f(x)=sin^2(x),[/mm] a=0
> Hallo Forum!
>
> Ich hänge momentan an dieser Aufgabe. Und zwar konnte ich
> die Taylor-Reihe entwickeln, jedoch weiß ich nicht, wie
> ich nun den Konvergenzbereich berechnen soll.
>
> Lösungsansatz:
> Taylor-Reihe:
> [mm]sin^2(x)[/mm] = [mm]\bruch{2}{2!}[/mm] * [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{8}{4!}[/mm] * [mm]x^4[/mm] +
> [mm]\bruch{32}{6!}[/mm] * [mm]x^6[/mm] (Substituion: [mm]t=x^2)[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{2^{2n-1}}{(2n)!}[/mm] * [mm]t^n[/mm]
>
> Was ist nun der Konvergenzbereich?
Betrachte hier zum Beispiel den Quotienten
zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder.
Siehe auch: Quotientenkriterium
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> Wäre für Tipps sehr dankbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Danke dir erstmal für die Antwort
Habe das Quotientenkriterium angewandt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}*(2n)!}{2^{2n-1}*(2n+2)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{4n^2+6n+2} [/mm] = 0
Das sagt mir ja nun aus, dass die Reihe konvergent ist, mehr aber auch nicht, nehme ich an. Wie schauts denn nun aber mit dem Konvergenzbereich aus?
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Hallo HalleyClassic,
> Danke dir erstmal für die Antwort
>
> Habe das Quotientenkriterium angewandt:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}*(2n)!}{2^{2n-1}*(2n+2)!}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{4n^2+6n+2}[/mm] = 0
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> Das sagt mir ja nun aus, dass die Reihe konvergent ist,
> mehr aber auch nicht, nehme ich an. Wie schauts denn nun
> aber mit dem Konvergenzbereich aus?
Nun, das Quotientenkriterium hast Du hier nicht ganz richtig angewandt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{2^{2n+1}*(2n)!*t^{n+1}}{2^{2n-1}*(2n+2)!*t^{n}}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}*(2n)!}{2^{2n-1}*(2n+2)!}*\vmat{t}< 1[/mm]
Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}*(2n)!}{2^{2n-1}*(2n+2)!}=0[/mm] konvergiert diese Reihe auf ganz [mm]\IR[/mm].
Gruß
MathePower
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