Konvergenzbeweis (Reihen) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Die Reihen [mm] \summe_{i=1}^{n} {a_n²} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n} {b_n²} [/mm] konvergieren. Beweise dass dann auch die Reihen [mm] \summe_{i=1}^{n}{\vmat{ a_n b_n }} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n} {(a_n + b_n)²} [/mm] konvergieren. |
hallo, könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe weiterhelfen? hab irgendwie keine idee wie ich das beweisen kann oder überhaupt anfangen könnte... ist irgendwie zu abstrakt für mich (:-....
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=30930]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Die Reihen [mm]\summe_{i=1}^{n} {a_n²}[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{n} {b_n²}[/mm]
> konvergieren. Beweise dass dann auch die Reihen
> [mm]\summe_{i=1}^{n}{\vmat{ a_n b_n }}[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{n} {(a_n + b_n)²}[/mm]
> konvergieren.
> hallo, könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe
> weiterhelfen? hab irgendwie keine idee wie ich das beweisen
> kann oder überhaupt anfangen könnte... ist irgendwie zu
> abstrakt für mich (:-....
Also die Konvergenz von [mm] $\sum_{i=n}^\infty |a_n b_n|$ [/mm] folgt aus der Ungleichung [mm] $|a_n b_n| \le a_n^2 [/mm] + [mm] b_n^2$. [/mm] Das musst du jetzt nur noch beweisen (das ist aber wirklich einfach; mach z.B. eine Fallunterscheidung [mm] $|a_n| \le |b_n|$ [/mm] und [mm] $|a_n| [/mm] > [mm] |b_n|$).
[/mm]
Und die Konvergenz [mm] $\sum_{i=n}^\infty (a_n [/mm] + [mm] b_n)^2$ [/mm] kannst du auf die Konvergenz von [mm] $\sum_{i=n}^\infty a_n^2$, $\sum_{i=n}^\infty b_n^2$ [/mm] und [mm] $\sum_{i=n}^\infty [/mm] a b$ zurueckfuehren; du musst dir nur noch ueberlegen, warum die dritte Reihe konvergiert (aber das folgt wie letztes aus...?  ).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!! gaaanz vielen dank für deine schnelle antwort!! :)
also zur ersten reihe:
[mm] \vmat{ a_n b_n } \le a_n² [/mm] + [mm] b_n [/mm] ²
1.Fall:
[mm] \vmat{a_n } \le \vmat{ b_n }
[/mm]
[mm] \vmat{a_n b_n } \le b_n² [/mm] und damit auch
[mm] \vmat{a_n b_n } \le b_n² [/mm] + [mm] a_n²
[/mm]
stimmt das?
2.Fall:
[mm] \vmat{b_n } [/mm] > [mm] \vmat{ a_n }
[/mm]
[mm] a_n²>\vmat{ b_n a_n }
[/mm]
[mm] a_n² [/mm] + [mm] b_n² [/mm] > [mm] \vmat{ b_n a_n }
[/mm]
und aus der konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{n}{a_n²} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n} {b_n²} [/mm] folgt Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{n} {(a_n²+b_n²)}
[/mm]
d.h. [mm] \summe_{i=1}^{n} {\vmat{a_n b_n }} \le \summe_{i=1}^{n}{a_n²+b_n²} [/mm] Konvergenz nach Majorantenkriterium
zur zweiten Reihe:
ahja,ich glaub ich erinner mich ;) da [mm] \summe_{i=1}^{n}{a_n b_n} [/mm] absolut konvergent, ist sie erst recht normal konvergent und
[mm] \summe_{i=1}^{n} {(a_n+b_n)²} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} {(a_n²+2a_nb_n+b_n²)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}{a_n²} [/mm] + [mm] 2\summe_{i=1}^{n}{a_n b_n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} {b_n²} [/mm] und diese einzelnen Reihen konvergieren, daraus folgt Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{n}{(a_n+b_n)²}
[/mm]
ist ja cool, stimmt das alles so?? vielen vielen dank! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley,
> also zur ersten reihe:
> [mm]\vmat{ a_n b_n } \le a_n²[/mm] + [mm]b_n[/mm] ²
> 1.Fall:
> [mm]\vmat{a_n } \le \vmat{ b_n }[/mm]
> [mm]\vmat{a_n b_n } \le b_n²[/mm]
> und damit auch
> [mm]\vmat{a_n b_n } \le b_n²[/mm] + [mm]a_n²[/mm]
> stimmt das?
Jep.
> 2.Fall:
> [mm]\vmat{b_n }[/mm] > [mm]\vmat{ a_n }[/mm]
> [mm]a_n²>\vmat{ b_n a_n }[/mm]
> [mm]a_n²[/mm] +
> [mm]b_n²[/mm] > [mm]\vmat{ b_n a_n }[/mm]
Ebenso.
> und aus der konvergenz von [mm]\summe_{i=1}^{n}{a_n²}[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n} {b_n²}[/mm] folgt Konvergenz von
> [mm]\summe_{i=1}^{n} {(a_n²+b_n²)}[/mm]
> d.h. [mm]\summe_{i=1}^{n} {\vmat{a_n b_n }} \le \summe_{i=1}^{n}{a_n²+b_n²}[/mm]
> Konvergenz nach Majorantenkriterium
Genau!
> zur zweiten Reihe:
> ahja,ich glaub ich erinner mich ;) da [mm]\summe_{i=1}^{n}{a_n b_n}[/mm]
> absolut konvergent, ist sie erst recht normal konvergent
Exakt 
> und
> [mm]\summe_{i=1}^{n} {(a_n+b_n)²}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} {(a_n²+2a_nb_n+b_n²)}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}{a_n²}[/mm] + [mm]2\summe_{i=1}^{n}{a_n b_n}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n} {b_n²}[/mm] und diese einzelnen Reihen
> konvergieren, daraus folgt Konvergenz von
> [mm]\summe_{i=1}^{n}{(a_n+b_n)²}[/mm]
Ja. Wobei du das rueckwaerts aufschreiben solltest, so dass du mit (absolut) konvergenten Reihen anfaengst und daraus das Ergebnis folgt :)
LG und nen schoenen Abend, Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Riley |
okay, werd's versuchen andersrum aufzuschreiben... tausend dank dir!!! grüßle riley ;)
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