Konvergenzbeweis von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Do 28.12.2006 | | Autor: | prrulez |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n / [mm] (n^{2} [/mm] - 3n + 5) |
Ich komme hier auf keine Lösung, hab mir ein paar Beispielaufgaben angeguckt, die versteh ich auch alle, ohne Anregungen aus den Lösungen (zu dieser Aufgabe hab ich keine) komm ich nicht auf nen grünen Zweig.
Was mir klar ist, ist der Ansatz über ein Vergleichkriterium, ich bin mit dem Majorantenkriterium drangegangen.
Das wars aber auch schon, wie vergrößere ich den Zähler, wie verkleinere ich den Nenner?
Ne kleine Anregung müsste mir helfen hoffe ich, würd mich aber auch über jede vollständige Lösung freuen, Übungsaufgaben hab ich noch genug ;)
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Kannst du dir deine Aufgabe bitte nochmal ansehen, so wie die Reihe nämlich dasteht hängen die Reihenglieder ja gar nicht von i ab, außerdem ist es eine endliche Reihe, die ja sowieso immer konvergiert.
Grüße Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo baufux!
Ich würde hier aber schon unterstellen, dass es sich um [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{n^2- 3n + 5}$ [/mm] handeln soll.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Do 28.12.2006 | | Autor: | prrulez |
Ah, sorry, hab das von den Vorlagen übernommen und nicht korrigiert, die Version vom Loddar ist natürlich richtig, tut mir leid...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
Okay, wenn das so ist würde ich sagen, dass die Reihe gar nicht konvergent ist, da es eine nicht konvergente Minorante gibt.
Für [mm]a_{n}=\bruch{n}{n^2-3n+5}[/mm] gilt mit [mm]b_{n}=\bruch{1}{n+2}[/mm]:
[mm]|a_{n}|=a_{n} \ge b_{n}=|b_{n}|[/mm]
Dies kann man z.B. wie folgt zeigen:
[mm]\bruch{n}{n^2-3n+5} \ge \bruch{1}{n+2} \gdw[/mm]
[mm]n(n+2) \ge n^2-3n+5 \gdw[/mm]
[mm]n^2+2n \ge n^2-3n+5 \gdw[/mm]
[mm]5n \ge 5 \gdw[/mm]
[mm]n \ge 1[/mm]
Dies stimmt für alle [mm]n \ge 1[/mm].
Also sollte da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm] nicht konvergent ist, also auch [mm]\summe_{n=3}^{\infty}\bruch{1}{n} = \summe_{n=3}^{\infty}\bruch{1}{n+2}[/mm] nicht konvergent sein.
Da nun alle Partialsummen von [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2-3n+5} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+2}[/mm] gilt, ist auch die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2-3n+5}[/mm] nicht konvergent.
Grüße Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 28.12.2006 | | Autor: | prrulez |
Tatsache, divergent! ;)
Danke dir für die Erklärung, ich hoffe ma, dass ich das auch irgendwann soweit verstehe um anderen helfen zu können...
vg
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