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Konvergenzkriterien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Mi 09.01.2008
Autor: MattiJo

Aufgabe
Konvergieren die Reihen?

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n-1)^{2n-1}}{2^{2^{n}}(2n)!} [/mm]

b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{n}-e^{-n}}{2}z^{n} [/mm]

Falls die folgenden beiden konvergieren, bitte auch den Grenzwert angeben:

c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{i}{5})^{k-1} [/mm]

d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}}{(2k+1)!} [/mm]

Hallo,

das Thema lässt mich grade nicht in Ruhe und ich hab leider große Probleme...
ich wollte fragen ob ihr mir zu den obigen Aufgaben vielleicht helfen könnt, wie (bzw. mit welchem Konvergenz-Kriterium) ich am besten die Konvergenz nachweisen kann.

Wenn ich den Grenzwert einer Summe berechnen will, kann ich dann den Grenzwert des Summanden bestimmen und schauen wie der sich für die Summe verhält oder wie geh ich da am besten vor?

Ich bin für jede Hilfe total dankbar. Muss bis morgen die Aufgaben lösen und dieses Thema scheint mir nicht so zu liegen.



        
Bezug
Konvergenzkriterien: zu b) und c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mi 09.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo,

zunächst eine Rückfrage zu a)

Da ist nicht ganz klar, wie das mit den Potenzen im Nenner ist, kannst du das nochmal klarer aufschreiben?


zu b)

Das ist ja eine Potenzreihe. Gesucht ist also der Konvergenzradius $R$, so dass die Potenzreihe für $|z|<R$ konvergiert und für $|z|>R$ divergiert

Bestimme dazu [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{e^n-e^{-n}}{2}$ [/mm]

Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infrty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$ [/mm]

Also ganz ähnlich dem Quotientenkriterium

zu c)

Da denke mal an die geometrische Reihe.

Bedenke auch, dass du eine Indexverschiebung machen kannst, vllt ist es dann deutlicher

Es ist [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}+\frac{i}{5}\right)^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}+\frac{i}{5}\right)^k$ [/mm]

Nun denke wie gesagt an die (unendliche) geometrische Reihe und daran, wann diese konvergent ist...

Eine Formel für ihren Wert kennst du sicher auch ;-)

Das war's erstmal, die d) schau ich mir noch an...


Ach ja, zu deiner anderen Frage:

Der Reihenwert ist der Grenzwert der Partialsummen, also [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{k=0}^Na_k$ [/mm]

Darüber kannst du oftmals den Reihenwert berechnen, v.a. wenn sich das [mm] $a_k$ [/mm] als Partialbruchzerlegung darstellen lässt, zB bei Reihen der Form [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2-1}$ [/mm]

Die Partialsummen ergeben dann oft schöne Teleskopsummen, in denen sich fast alles weghebt, so dass der Grenzübergang dann einfach wird

Ansonsten immer mal an bekannte Reihen denken, oft an die geometrische...

Aber ein Allheilmittel gibt's wohl nicht - einfach bissl rumprobieren ;-)



LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mi 09.01.2008
Autor: MattiJo

danke für die hilfe, ich habe die potenzen im nenner bei a) korrigiert.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Mi 09.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo,

ich kapiere es immer noch nicht?

Steht da nun bei dem 1.Term im Nenner [mm] $2^{(2n)}$ [/mm] oder [mm] $2^{2^n}$, [/mm] also 2 hoch 2 hoch n?

Im ersten Fall kannst du die Divergenz der Reihe mit dem QK nachweisen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Im anderen Fall weiß ich's auch nicht [keineahnung]

LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Mi 09.01.2008
Autor: MattiJo

es sind leider tatsächlich 2 hoch 2 hoch n :(
und ich bring es mit dem QK nicht raus:-(
kann man das nicht mit den potenzgesetzen irgendwie überführen?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:05 Do 10.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

hmm, ich habs nochmal mit dem QK angesetzt bei der (a)

Wenn ich mich nicht grob fahrlässig vertan habe, ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty$ [/mm]

[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(2n+1)^{2n+1}}{2^{2^{n+1}}\cdot{}(2n+2)!}\cdot{}\frac{2^{2^n}\cdot{}(2n)!}{(2n-1)^{2n-1}}$ [/mm]

[mm] $=\frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}}\cdot{}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{2n-1}\cdot{}\frac{(2n+1)^2\cdot{}(2n)!}{(2n)!\cdot{}(2n+1)(2n+2)}$ [/mm]

[mm] $=2^{2^n}\cdot{}\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}\cdot{}... [/mm] \ [mm] \longrightarrow \infty\cdot{}e^2\cdot{}1=\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm]

Also nach Divergenz nach QK

Aber ohne Gewähr ;-)

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:42 Do 10.01.2008
Autor: Marcel

Hallo Schachuzipus,

ich habe nur etwas ein klein wenig anders:
Denn mit
[mm] $\frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}}=\frac{2^{2^n}}{2^{2*2^{n}}}=\frac{2^{2^n}}{\left(2^{2^n}\right)^2}=\frac{1}{2^{2^n}}$ [/mm]
kommt bei mir eben raus, dass die Reihe konvergiert. Ich muss das aber auch nochmal nachrechnen.

Edit:
Ich erhalte nach Kontrollrechnung nun:
[mm] $=\frac{1}{2^{2^n}}*\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}*\frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)}$ [/mm]

Wenn man nun ganz genau argumentieren will:
Die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] ist konvergent gegen [mm] $e^2$, [/mm] also insbesondere beschränkt. Klar ist auch, dass [mm] \frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \to [/mm] 1, also ist auch die Folge
[mm] $\left(\frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] beschränkt. Weil [mm] \frac{1}{2^{2^n}} \to [/mm] 0, folgt damit, dass auch [mm] $\frac{1}{2^{2^n}}*\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}*\frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \to [/mm] 0$ (immer bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] und damit die Konvergenz der Reihe nach dem Quotientenkriterium.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:48 Do 10.01.2008
Autor: schachuzipus

Hi Marcel,

du hast recht, ich wollte auch eigentlich ein "-" in den Exponenten schreiben, hab's dann aber in dem Formelwust übersehen

Das Ding geht gegen 0, also ist die Reihe doch konvergent


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzkriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:57 Do 10.01.2008
Autor: Marcel


> Hi Marcel,
>  
> du hast recht, ich wollte auch eigentlich ein "-" in den
> Exponenten schreiben, hab's dann aber in dem Formelwust
> übersehen
>  
> Das Ding geht gegen 0, also ist die Reihe doch konvergent
>  
>
> Gruß
> schachuzipus

Hi,

ja, ich hab' nun auch das ganze nochmal nachgerechnet, hätte ja sein können, dass Du den Faktor [mm] $2^{2^n}$ [/mm] irgendwo anders untergebracht hattest und ich das nicht gesehen hätte. Aber ich denke, bei der Aufgabe war es eh der eigentliche Sinn, dass man diese typische (Teil)Folge der "e-Funktion" erkennt. Flüchtigkeitsfehler passieren da jedem Mal, mir sicherlich mehr als Dir ;-)
Aber ich habe Mal ausnahmsweise sofort fehlerfrei gerechnet, das sollte ich mir Rot im Kalender anstreichen ;-)

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Konvergenzkriterien: sinh oder so
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Do 10.01.2008
Autor: HJKweseleit


> Falls die folgenden beiden konvergieren, bitte auch den
> Grenzwert angeben:

> d) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}}{(2k+1)!}[/mm]

=[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{2k}}{(2k+1)!}[/mm]

=[mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]


[mm]\bruch{1}{2}*sinh(2)[/mm]

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