Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 So 23.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Huhu,
wir sollen 5 Reihen auf Konvergenz mittels der Konvergenzkriterien untersuchen:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)²}{(2k)!}
[/mm]
Bei dieser Aufgabe bin ich mir ziemlich sicher, dass ich sie mit dem Quotientenkriterium richtig gerechnet habe und diese Reihe konvergiert auch!
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{\wurzel{k}}{k+1}
[/mm]
Hier habe ich das Leibnizkriterium verwendet. Ich muss also beweisen, dass die Folge [mm] \bruch{\wurzel{k}}{k+1} [/mm] monoton fallend ist und eine Nullfolge ist => die Reihe ist konvergent!
Nachweis der Monotonie:
[mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{\bruch{\wurzel{1}}{1+1}}{\bruch{\wurzel{2}}{2+1}} =\bruch{0,5}{~0,4714} \approx [/mm] 1,0606 > 1
=> monoton fallende Folge
Nachweis einer Nullfolge:
[mm] \bruch{\wurzel{k}}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{k} + \bruch{1}{\wurzel{k}}} [/mm] (<-- Umformung der Folge)
Da der Nenner gegen unendlich läuft, läuft der gesamte Bruch folglich gegen 0 => die Folge ist eine Nullfolge.
Somit konvergiert die Reihe!
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k²+4k+1}{(\wurzel{k})^{k}} [/mm] Hier wende ich das Wurzelkriterium an:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{k²+4k+1}{(\wurzel{k})^{k}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[k]{k²+4k+1}}{\wurzel{k}} \to [/mm] 0 (für k [mm] \to \infty) [/mm] < 1
=> Die Reihe ist absolut konvergent!
Frage: Reicht das so wie ich es gemacht habe oder muss man noch weiter abschätzen oder so, um zu sagen, dass es gegen 0 läuft?
d) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\wurzel{1+\bruch{1}{k}}-1) [/mm] Hier habe ich versucht das Vergleichskriterium anzuwenden:
[mm] |\wurzel{1+\bruch{1}{k}}-1| [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{k}}-1 [/mm] > [mm] \wurzel{\bruch{1}{k}}
[/mm]
=> Da wir mit [mm] \bruch{1}{k} [/mm] eine divergente Minorante (harmonische Reihe) gefunden haben, so ist die Reihe divergent!
Frage: Ist das so richtig wie ich es gemacht habe?
e) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{k}}{k}
[/mm]
Bei dieser Aufgabe weiss ich irgendwie nicht genau welches Kriterium ich verwenden soll, und wie ich es mit dem komplexen i angehen muss.
Danke schonmal für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 23.11.2008 | | Autor: | erisve |
huhu, habe diese aufgaben auch gerad gemacht,
die ersten habe ich genauso wie du gemacht,
bei d wusste ich nicht so recht was ich machen sollte ,aber ich glaube deine abschätzung ist nicht so ganz korrekt,setz doch mal zahlen ein !
bei der letzten musst du dir nur mal den hinweis durchlesen!
also imaginärteil und realteil getrennt betrachten ! und dann habe ich für biede reihen einzlen die konvegenz betrachtet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 23.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Die letzte habe ich mittlerweile auch hinbekommen, habe es halt in Realteil und Imaginärteil zerlegt und mit Leibniz herausgefunden, dass es konvergiert.
Hast du bei d), dass es konvergent oder divergent ist raus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 So 23.11.2008 | | Autor: | erisve |
gar nichts ich weiß es nicht!!!
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