Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:25 So 28.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich habe da mal eine Frage. Ich beschäftige mich gerade mit den Konvergenzkriterien für Reihen. Speziell:
Majoranten-,Minorantenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium
In Worten fällt es mir schwer auszudrücken, was ich mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium überhaupt machen will.
Wir hatten in der Vorlesung nie irgendetwas zum Konvergenzradius gemacht (dieser Begriff taucht in jedem Buch auf) und ich vermute, dass er für das Verständnis wichtig ist.
Ich verstehe nicht, wieso ich beim M.K. und Q.K. zum Beispiel für [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=1 [/mm] keine Aussage über die Konvergenz erhalte. Ähnlich ist es ja auch beim Wurzelkriterium.
Und wieso ist es dann so, dass die Reihe nur für [mm] 0
Wir hatten die Kriterien leider nur mal kurz angeschrieben und bewiesen, ohne noch was dazu zu sagen oder so.
Aber "was" das genau "passiert", ist mir bis jetzt nicht klar geworden.
Ich danke euch für die Unterstützung.
Liebe Grüße,
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 28.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> In Worten fällt es mir schwer auszudrücken, was ich mit
> dem Wurzel- und Quotientenkriterium überhaupt machen
> will.
Das sind Hlfen um die Konvergenz von Reihen zu zeigen.
> Wir hatten in der Vorlesung nie irgendetwas zum
> Konvergenzradius gemacht (dieser Begriff taucht in jedem
> Buch auf) und ich vermute, dass er für das Verständnis
> wichtig ist.
Das hat etwas mit Potenzreihen zu tun, einem wichtigen Typ von Reihen. Für Reihen an sich nicht zu viel.
> Ich verstehe nicht, wieso ich beim M.K. und Q.K. zum
> Beispiel für [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=1[/mm]
(Die Aussage ist nicht korrekt, da fehlt die Limesbildung.)
>keine Aussage über
> die Konvergenz erhalte. Ähnlich ist es ja auch beim
> Wurzelkriterium.
Weil der Beweis nicht klappt. Wenn bei den Kriterien 1 herauskommt, kann die Reihe konvergieren oder auch nicht - Beispile sind jeweils [m]\sum_n 1/n[/m] und [m]\sum_n 1/n^2[/m].
> Und wieso ist es dann so, dass die Reihe nur für [mm]0
q ist die Zahl aus den Kriterien? Also der Limes bzw. Limsup? Dann mus q <1 sein!
> konvergiert? Ist das immer auf die geometrische
> zurückzuführen?
Die Beweise werden so geführt.
> Aber "was" das genau "passiert", ist mir bis jetzt nicht
> klar geworden.
Es gibt da noch Zusammenhänge zwischen den Kriterien, ich lass es also mal offen.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ok, aber so ganz ist es mir nicht klar geworden.
Kann ich sagen, dass die Reihe für >1 divergiert, weil ich dann keine Nullfolge habe ?
Es gilt ja: Reihe keine Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] Reihe divergent
Hat das damit was zu tun ?
Ich wundere mich über die Schreibweise von euch bzw. im Buch. Diesen Satz mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] kenne ich so garnicht...also mit dem limes.
Ich zitiere mal "unser" Wurzelkriterium:
"Sei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] eine Reihe und sei 0<q<1.
Falls [mm] \wurzel[k]{|a_k|}
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] absolut konvergent."
Vielleicht könnt ihr mir jetzt besser helfen ?
Liebe Grüße, Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 01.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Kann ich sagen, dass die Reihe für >1 divergiert, weil ich
> dann keine Nullfolge habe ?
Was heißt hier sagen, dass ist auch eine Folgerung aus den Kriterien, die stimmt.
> Hat das damit was zu tun ?
Ja, wenn obiges gilt, sind die [m]a_n[/m] keine Nullfolge - für Wurzel wie Quotientenkriterium.
> Ich wundere mich über die Schreibweise von euch bzw. im
> Buch. Diesen Satz mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] kenne ich so garnicht...also mit
> dem limes.
Das ist der Limes superior, er ist für eine Folge [m]a_n[/m] defineirt als [m]\lim_{n\to\infty} \sup\{a_k|k\ge n\}[/m]. Der existiert für beschränkte Folgen immer. Was du oben mit dem Bruch willst, ist mir nicht ganz klar - das Quotientenkriterium benötigt jedenfalls echte Konvergenz.
Zu den Kriterien: wenn das Quotientenkriterium erfüllt ist, so ist auch imemr das Wurzelkrit. erfüllt. Die Umkehrung ist aber falsch.
> "Sei [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] eine Reihe und sei 0<q<1.
> Falls [mm]\wurzel[k]{|a_k|}
> k, dann ist
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] absolut konvergent."
Gilt dies, so ist das Supremum über die Folgen irgendwann kleiner q - und damit auch der Limsup. Ist der Limsup kleiner als 1, findet man ein q wie bei euch.
> Vielleicht könnt ihr mir jetzt besser helfen ?
Dein Problem ist mir noch immer nciht ganz klar.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Mein Problem ist nur, dass wir den Satz ganz anders aufgeschrieben hatten, als man es überall findet. Und der Begriff: limes superior habe ich noch nie gehört.
Wir hatten zB beim Q.K. einfach nur die Folge in [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] eingesetzt und irgendwann für k [mm] \to \infty [/mm] laufen lassen, um schließlich zu schauen, kleiner oder größer 1. mehr nicht...es wurde auch nicht mehr groß was dazu gesagt :(
Liebe Grüße, Ferolei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mo 01.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mein Problem ist nur, dass wir den Satz ganz anders
> aufgeschrieben hatten, als man es überall findet. Und der
> Begriff: limes superior habe ich noch nie gehört.
Jetzt hast du's. Und du hättest ja erstmal nach limes superior googlen können und gleich die beiden verschiedenen Sachen posten - dann wär'S schneller gegangen.
> Wir hatten zB beim Q.K. einfach nur die Folge in
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] eingesetzt und irgendwann für k [mm]\to \infty[/mm]
> laufen lassen, um schließlich zu schauen, kleiner oder
> größer 1. mehr nicht...es wurde auch nicht mehr groß was
> dazu gesagt :(
Das ist Limesbildung beim Quotientenkriterium. Möchtest du denn die Beweise durchgehen? Mir scheint, dass wurde ganz kurz abgehakt ohne die Beweise zu machen ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Das ist super nett von dir, aber habe mir die jetzt selbst mit Hilfe des Majorantenkriteriums bewiesen. Ich finde, dass klappt ganz gut, da man ja auf die geometrische Reihe stößt.
Ich danke dir trotzdem.
Eine Frage habe ich dann doch noch:
Wieso kann man aus dem Q.K. das Wurzelkriterium folgern aber nicht umgekehrt?
Liebe Grüße,
Ferolei
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Hallo Ferolei,
> Eine Frage habe ich dann doch noch:
>
> Wieso kann man aus dem Q.K. das Wurzelkriterium folgern
> aber nicht umgekehrt?
Hat man die Konvergenz einer Reihe mit dem Quotientenkriterium festgestellt, dann kann man die Konvergenz auch mit dem Wurzelkriterium feststellen. Zeigen kann man das beispielsweise über eine Ungleichungskette mit lim inf lim sup.
Andererseits gibt es Reihen, die sich nach dem Wurzelkriterium als konvergent erweisen. Aber bei denen das Quotientenkriterium nicht greift. Beispielsweise:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}
[/mm]
Gruß,
Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo Ferolei,
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Hallo Anna,
> > Eine Frage habe ich dann doch noch:
> >
> > Wieso kann man aus dem Q.K. das Wurzelkriterium folgern
> > aber nicht umgekehrt?
>
> Hat man die Konvergenz einer Reihe mit dem
> Quotientenkriterium festgestellt, dann kann man die
> Konvergenz auch mit dem Wurzelkriterium feststellen. Zeigen
> kann man das beispielsweise über eine Ungleichungskette
> mit lim inf lim sup.
>
> Andererseits gibt es Reihen, die sich nach dem
> Wurzelkriterium als konvergent erweisen. Aber bei denen das
> Quotientenkriterium nicht greift.
Interessant... gibt es denn einen Grund dafür? Oder ist das einfach so ?
Das heißt, dass das Wurzelkriterium ne Nummer stärker ist? Aber ich finde, dass man es nicht so häufig anwenden kann wie das Quotientenkriterium. Und ich meid Wurzeln immer gerne ;)
Beispielsweise:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}[/mm]
>
> Gruß,
> Anna
Liebe Grüße,
Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 01.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Interessant... gibt es denn einen Grund dafür? Oder ist
> das einfach so ?
Der Grund ist der Beweis. Intuitiv könnte man sagen: der Limsup ist die schwächere Vorraussetzung, also sollte er mehr können.
> Das heißt, dass das Wurzelkriterium ne Nummer stärker
> ist?
Quasi ja. Aber nicht immer einfacher anzuwenden - deswegen werden ja die beiden behandelt!
> Aber ich finde, dass man es nicht so häufig anwenden
> kann wie das Quotientenkriterium.
Eben, deswegne gibt's das andere ja auch noch!
> Und ich meid Wurzeln
> immer gerne ;)
Pff. Selber Schuld.
SEcki
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