Konvergenzkriterien für Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 10.02.2009 | | Autor: | Gaspy |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=\bruch{2+(-1)^n}{2^n} [/mm] |
Hallo,
meine Frage ist, welches Kriterium nimmt man da am Besten.
Für die Aufgabe habe ich einmal das Wurzelkriterium und den Satz von Leibnitz benutzt, als Ergebniss hatte ich Konvergenz.
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{2+(-1)^n}{2^n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{2}{2^n}+\bruch{(-1)^n}{2^n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{(-1)^n}{2^n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
Die Betragsstriche habe ich weggelassen.
Satz von Leibnitz:
Da habe ich noch ein paar Probleme die Konvergenz zu beweisen.
[mm] (-1)^n [/mm] -> alternierend
[mm] \bruch{2}{2^n} [/mm] -> Nullfolge
Reicht das als Beweis?
Im Internet habe ich noch etwas über Mayoranten gelesen, aber dazu sagen meine Unterlagen leider nichts.
Bin für jeden Tip dankbar.
Diese Frage habe ich nur hier gestellt.
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Hallo Kristijan,
> [mm]a_{n}=\bruch{2+(-1)^n}{2^n}[/mm]
Du meinst die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\bruch{2+(-1)^n}{2^n}$ [/mm] ?!
> Hallo,
> meine Frage ist, welches Kriterium nimmt man da am Besten.
> Für die Aufgabe habe ich einmal das Wurzelkriterium ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gute Wahl!
> und den Satz von Leibnitz ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Zum einen heißt der gute Mann Leibniz (ohne t), zum anderen sind doch die Kriterien gar nicht erfüllt, ist das denn hier überhaupt eine alternierende Reihe?
> benutzt, als Ergebniss hatte ich
> Konvergenz.
>
> Wurzelkriterium:
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{2+(-1)^n}{2^n}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{2}{2^n}+\bruch{(-1)^n}{2^n}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{(-1)^n}{2^n}}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommt das zustande?
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1
stimmt vom Ergebnis, aber der Weg ist haarsträubend 
> Die Betragsstriche habe ich weggelassen.
Das solltest du i.A. aber nicht tun!
Du musst den [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2+(-1)^n}{2^n}\right|}$ [/mm] berechnen
Dazu betrachte die beiden Teilfolgen für n gerade und n ungerade, also
[mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\begin{cases} \frac{2+1}{2^n}=\frac{3}{2^n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \frac{2-1}{2^n}=\frac{1}{2^n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Und berechne die Limites der n-ten Wurzel (der Beträge) dieser beiden Teilfolgen. Der größere ist es dann (es sind aber eh beide gleich )
>
>
> Satz von Leibnitz:
> Da habe ich noch ein paar Probleme die Konvergenz zu
> beweisen.
> [mm](-1)^n[/mm] -> alternierend
> [mm]\bruch{2}{2^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-> Nullfolge
Um die Regel von Leibniz anwenden zu können brauchst du eine alternierende Reihe der Form $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n$
Und es ist nicht !! $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{2}{2^n}$
Dann gibt's gewisse Bedingungen, die $(a_n)_{n\in\IN$ erfüllen muss, damit das Leibnizkriterium greift und Konvergenz liefert
> Reicht das als Beweis?
Nö
> Im Internet habe ich noch etwas über Mayoranten
die heißen Majoranten
> gelesen, aber dazu sagen meine Unterlagen leider nichts.
Wenn du zu deiner Ausgangsreihe eine konvergente Majorante, also eine größere Reihe, die konvergent ist, also einen endlichen Reihenwert hat, finden kannst, so bleibt deiner armen kleineren Reihe nichts anderes übrig, also auch zu konvergieren (sie hat als kleinere Reihe ja dann auch einen endlichen Wert)
Zum Vergrößern kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern
Ich würde den Zähler vergrößern
Der pendelt ja wegen des $(-1)^n$ immer zwischen $2+1=3$ und $2-1=1$ hin und her.
Also ist 3 doch schon eine Vergrößerung (oder 10 oder 1000)
Also $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n} \ \le \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^n} \ = \ 3\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$
Na und ist diese Majorante konvergent? Kommt sie dir bekannt vor?
>
> Bin für jeden Tip dankbar.
>
> Diese Frage habe ich nur hier gestellt.
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 10.02.2009 | | Autor: | Gaspy |
Danke für die sehr schnelle Antwort :)
[mm] \wurzel[n]{\bruch{2+(-1)^n}{2^n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{2}{2^n}+\bruch{(-1)^n}{2^n}}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{2^n} [/mm] ist eine Nullfolge und deswegen habe ich das im nächsten Schritt nicht mehr mitgenommen. Dachte das stimmt schon so.
[mm] \wurzel[n]{\left| \bruch{(-1)^n}{2^n} \right| } [/mm] Jetzt habe ich mir die Betragsstriche abgeschaut.
Nach der n-ten Wurzel hatte ich [mm] \left| \bruch{1}{2} \right| [/mm] als Ergebnis.
Aber nun zum spannenden Teil :)
Die Antwort ist umfangreicher als der Inhalt meines Skripts zum Satz von Leibniz ohne "t".
Muss ich nun [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n} [/mm] erst in die Form [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm] überführen bevor ich das Leibniz-Kriterium anwenden kann?
Die Lösung [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^n} [/mm] \ = \ [mm] 3\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] ist sehr elegant, [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] ist eine Nullfolge und damit konvergent.
Im Skript haben wir nur das Beispiel:
[mm] a_n= \bruch{1}{2^n +n} [/mm] mit der Majorante [mm] v_n= \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Die Majorante wird wohl eine geom. Reihe sein : [mm] \bruch{1}{2} +\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ...
Als Lösung steht da nur [mm] S_n [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 1 , und damit konvergent.
Ob [mm] \bruch{1}{2} [/mm] das erste Glied der Folge sein soll oder etwas ganz Anderes wird nicht erwähnt.
Die Form [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm] wird auch nicht erwähnt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Danke für die sehr schnelle Antwort :)
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{2+(-1)^n}{2^n}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{2}{2^n}+\bruch{(-1)^n}{2^n}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{2^n}[/mm] ist eine Nullfolge und deswegen habe ich das
> im nächsten Schritt nicht mehr mitgenommen. Dachte das
> stimmt schon so.
>
> [mm]\wurzel[n]{\left| \bruch{(-1)^n}{2^n} \right| }[/mm] Jetzt habe
> ich mir die Betragsstriche abgeschaut.
>
> Nach der n-ten Wurzel hatte ich [mm]\left| \bruch{1}{2} \right|[/mm]
> als Ergebnis.
>
> Aber nun zum spannenden Teil :)
> Die Antwort ist umfangreicher als der Inhalt meines
> Skripts zum Satz von Leibniz ohne "t".
> Muss ich nun
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}[/mm] erst in die
> Form [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n[/mm] überführen
> bevor ich das Leibniz-Kriterium anwenden kann?
>
> Die Lösung [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}[/mm] \
> [mm]\le[/mm] \ [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^n}[/mm] \ = \
> [mm]3\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
> ist sehr elegant, [mm]\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm] ist eine
> Nullfolge und damit konvergent.
>
> Im Skript haben wir nur das Beispiel:
>
> [mm]a_n= \bruch{1}{2^n +n}[/mm] mit der Majorante [mm]v_n= \bruch{1}{2^n}[/mm]
>
> Die Majorante wird wohl eine geom. Reihe sein :
> [mm]\bruch{1}{2} +\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ...
>
> Als Lösung steht da nur [mm]S_n[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{1}{2}}[/mm] = 1 , und damit
> konvergent.
> Ob [mm]\bruch{1}{2}[/mm] das erste Glied der Folge sein soll oder
> etwas ganz Anderes wird nicht erwähnt.
>
> Die Form [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n[/mm] wird
> auch nicht erwähnt.
>
>
Mach es nicht so umständlich,
Die einzelnen Folgenglieder sind abwechselnd entweder [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] oder [mm] \bruch{3}{2^n}.
[/mm]
Beides sind Nullfolgen.
Ach so, geht es bei der Konvergenz überhaupt um die Folge (dann ist der Fall geklärt) oder um die Reihe? Die Reihe lässt sich großzügig nach oben abschätzen durch die Summe aller [mm] \bruch{3}{2^n}(=3*\bruch{1}{2^n}), [/mm] und diese ist kleiner als 3.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:00 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Gaspy |
Hallo,
mir geht es um die Reihen und wie ich Divergenz bzw Konvergenz beweisen kann. Oder besser gesagt, wann ich welches Kriterium anwenden soll. Mangelns Verständnis mache ich es gerne etwas zu kompliziert :)
Das Leibnizkriterium macht mir im Moment die größten Sorgen, da wir zu diesem Thema kaum Unterlagen haben.
Als weiteres Beispiel:
[mm] a_n= cos(n*\pi) \cdot \bruch{n!}{n^n} \rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n
[/mm]
Dabei ist [mm] v_n =\bruch{1}{n^n} [/mm] eine Nullfolge.
[mm] v_n \ge a_n \rightarrow R_v [/mm] ist Majorante der [mm] R_a
[/mm]
[mm] v_n \le a_n \rightarrow R_v [/mm] ist Minorante der [mm] R_a
[/mm]
[mm] R_a= a_1+a_2+a_3 ...+a_n
[/mm]
[mm] R_v [/mm] = [mm] v_1+v_2+v_3 ...+v_n
[/mm]
für alle n
Für n 1 bis 3
[mm] R_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{0,5}+\bruch{1}{0,2}
[/mm]
und
[mm] R_v [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{0,25}+\bruch{1}{0,037}
[/mm]
Damit ist [mm] a_n [/mm] > [mm] v_n [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^n} [/mm] eine Minorante, [mm] a_n [/mm] divigiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> mir geht es um die Reihen und wie ich Divergenz bzw
> Konvergenz beweisen kann. Oder besser gesagt, wann ich
> welches Kriterium anwenden soll. Mangelns Verständnis mache
> ich es gerne etwas zu kompliziert :)
> Das Leibnizkriterium macht mir im Moment die größten
> Sorgen, da wir zu diesem Thema kaum Unterlagen haben.
>
>
> Als weiteres Beispiel:
>
> [mm]a_n= cos(n*\pi) \cdot \bruch{n!}{n^n} \rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] eine Nullfolge.
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{0,5}+\bruch{1}{0,09}[/mm]
Das verstehe wer will
> und
> [mm]v_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{0,25}+\bruch{1}{0,037}[/mm]
>
Das verstehe wer will
> Damit ist [mm]a_n[/mm] > [mm]v_n[/mm] und [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] eine Minorante,
Das ist alles völlig nebulös
FRED
[mm]a_n[/mm]
> divigiert?
>
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