Konvergenzkriterium beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten morgen,
ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Für eine konvergente Folge [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] ist zu beweisen, dass sie genau dann konvergent ist, wenn gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Leider verstehe ich sie überhaupt nicht. Das angegebene Kriterium ist nach meinem Verständnis doch gerade die Definition der Konvergenz einer Folge, von dem sonst nicht vorkommenden [mm] \exists [/mm] a einmal abgesehen. Wie ist es dann möglich, dies zu beweisen?
Wäre für Hinweise dankbar. :)
P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wegen vermuteter Verletzung des Urheberrechtes kann Dein Anhang nicht freigegeben werden.
Es ist übrigens sowieso für Antwortgeber viel bequemer, wenn sie die Aufgaben getippt vorliegen haben.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Def. der Konvergenz lautet so:
(1)
$ [mm] \exists [/mm] $ a $ $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 [mm] \exists [/mm] $ N $ [mm] \in \IN [/mm] $ : $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \ge [/mm] $ N $ [mm] |x_n [/mm] $ - a| < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Dann haben wir die Aussage
(2)
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists [/mm] $ a $ [mm] \exists [/mm] $ N $ [mm] \in \IN [/mm] $ : $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \ge [/mm] $ N $ [mm] |x_n [/mm] $ - a| < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Siehst Du den Unterschied zwischen (1) und (2) ?
Aus (1) folgt (2). Du sollst nun zeigen, dass aus (2) auch (1) folgt.
Tipp: aus (2) folgt, dass [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist. Zeige das !
FRED
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Vielen Dank für deine Antwort!
Ich glaube, ich habe mit der Äquivalenz von Aussagen mit Quantoren noch Probleme. Kann man also sagen:
[mm] \exists [/mm] a [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a
jedoch nicht
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \Rightarrow \exists [/mm] a [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 ?
Wenn ich dich richtig verstehe ist es so, weil (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2), aber nicht (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (1).
Zu der Folgerung, dass (1) aus (2) folgt: Cauchy-Folgen kamen in der Vorlesung leider noch nicht vor, also werde ich die in der Lösung wahrscheinlich nicht verwenden dürfen. Wäre es alternativ möglich (2) auf eine Nullfolge zurückzuführen, indem man sagt dass [mm] x_n [/mm] - a eine Nullfolge ist und die nach Definition (Vorlesung) konvergent? Oder ist das unsinnig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Unwissender123 und herzlich !
> Ich glaube, ich habe mit der Äquivalenz von Aussagen mit
> Quantoren noch Probleme. Kann man also sagen:
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] a
> jedoch nicht
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] a [mm]\Rightarrow \exists[/mm] a
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 ?
Genau. [mm] $\exists a\colon\forall\varepsilon>0\colon\ldots$ [/mm] bedeutet, dass ein a existiert, dass für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gleichzeitig der durch die Pünktchen angedeuteten Aussage genügt. [mm] $\forall\varepsilon>0\colon\exists a\colon\ldots$ [/mm] bedeutet, dass für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein möglicherweise von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängiges $a$ existiert.
Im ersten Fall gibt es ein gemeinsames a, im letzteren Fall für jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein eigenes a.
> Zu der Folgerung, dass (1) aus (2) folgt: Cauchy-Folgen
> kamen in der Vorlesung leider noch nicht vor, also werde
> ich die in der Lösung wahrscheinlich nicht verwenden
> dürfen. Wäre es alternativ möglich (2) auf eine
> Nullfolge zurückzuführen, indem man sagt dass [mm]x_n[/mm] - a
> eine Nullfolge ist und die nach Definition (Vorlesung)
> konvergent? Oder ist das unsinnig?
Das Problem ist: Wir müssen ein allen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gemeinsames a erst noch finden. Noch haben wir nur für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein eigenes [mm] $a_\varepsilon$.
[/mm]
Wir benötigen in irgendeiner Form die Vollständigkeit der reellen Zahlen, um das geeignete a zu konstruieren. In welcher Form habt ihr die Vollständigkeit der reellen Zahlen eingeführt? Hattet ihr schon den Satz von Bolzano-Weierstraß?
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias, auch dir schon mal vielen Dank!
> > Ich glaube, ich habe mit der Äquivalenz von Aussagen mit
> > Quantoren noch Probleme. Kann man also sagen:
> > [mm]\exists[/mm] a [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists[/mm] a
> > jedoch nicht
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] a [mm]\Rightarrow \exists[/mm] a
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 ?
> Genau. [mm]\exists a\colon\forall\varepsilon>0\colon\ldots[/mm]
> bedeutet, dass ein a existiert, dass für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gleichzeitig der durch die Pünktchen
> angedeuteten Aussage genügt.
> [mm]\forall\varepsilon>0\colon\exists a\colon\ldots[/mm] bedeutet,
> dass für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein möglicherweise von
> [mm]\varepsilon[/mm] abhängiges [mm]a[/mm] existiert.
> Im ersten Fall gibt es ein gemeinsames a, im letzteren
> Fall für jedes [mm]\varepsilon[/mm] ein eigenes a.
Ah, das leuchtet mir ein!
>
>
> > Zu der Folgerung, dass (1) aus (2) folgt: Cauchy-Folgen
> > kamen in der Vorlesung leider noch nicht vor, also werde
> > ich die in der Lösung wahrscheinlich nicht verwenden
> > dürfen. Wäre es alternativ möglich (2) auf eine
> > Nullfolge zurückzuführen, indem man sagt dass [mm]x_n[/mm] - a
> > eine Nullfolge ist und die nach Definition (Vorlesung)
> > konvergent? Oder ist das unsinnig?
> Das Problem ist: Wir müssen ein allen [mm]\varepsilon>0[/mm]
> gemeinsames a erst noch finden. Noch haben wir nur für
> jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein eigenes [mm]a_\varepsilon[/mm].
>
> Wir benötigen in irgendeiner Form die Vollständigkeit der
> reellen Zahlen, um das geeignete a zu konstruieren. In
> welcher Form habt ihr die Vollständigkeit der reellen
> Zahlen eingeführt? Hattet ihr schon den Satz von
> Bolzano-Weierstraß?
>
Unsere Vorlesung (waren erst 4 Vorlesungstermine) ist glaube ich etwas unkonventionell, wenn ich sie mit der Gliederung einiger Analysis-Bücher vergleiche. Wir haben uns bisher vor allem mit der Annäherung an irrationale Zahlen über das Newton-Verfahren, der Binärdarstellung reeller Zahlen und natürlich mit Folgen und deren Konvergenz beschäftigt.
Sätze mit Namen kamen noch nicht vor mit einer Ausnahme:
Satz (Vollständigkeit von [mm] \IR, [/mm] Version 1): Jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum.
Auch "wissen" wir schon, dass jede monotone Folge genau dann konvergent ist, wenn sie beschränkt ist und dass jede relle Zahl Grenzwert einer konvergenten Folge von rationalen Zahlen ist. Ich weiß nicht, ob die genannten Sätze für den Beweis reichen, aber falls sie es tun, fehlt mir momentan leider noch die Idee, wie ich mich dem nähern kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sätze mit Namen kamen noch nicht vor mit einer Ausnahme:
> Satz (Vollständigkeit von [mm]\IR,[/mm] Version 1): Jede nach oben
> beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum.
>
> Auch "wissen" wir schon, dass jede monotone Folge genau
> dann konvergent ist, wenn sie beschränkt ist und dass jede
> relle Zahl Grenzwert einer konvergenten Folge von
> rationalen Zahlen ist. Ich weiß nicht, ob die genannten
> Sätze für den Beweis reichen, aber falls sie es tun,
> fehlt mir momentan leider noch die Idee, wie ich mich dem
> nähern kann.
Dann wird der Beweis leider ziemlich hart.
Wegen der Voraussetzung
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
haben wir für jedes [mm] $m\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] ein [mm] $a_m$, [/mm] so dass ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $|x_n-a_m|<\bruch{1}{m}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Zeige: Die Folge [mm] $(a_m)_{m\in\IN\setminus\{0\}}$ [/mm] ist durch [mm] $a_1+2$ [/mm] nach oben und durch [mm] $a_1-2$ [/mm] nach unten beschränkt. (Zeige dazu [mm] $|a_m-a_1|\le [/mm] 2$ für alle [mm] $m\in\IN\setminus\{0\}$.)
[/mm]
Also existiert für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] das Supremum [mm] $b_n:=\sup\{a_m\;|\;m\ge n\}$.
[/mm]
Zeige: Die Folge [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist monoton fallend und nach unten beschränkt durch [mm] $a_1-2$.
[/mm]
Somit konvergiert [mm] $b_n$. [/mm] Sei [mm] $a:=\lim_{n\to\infty}b_n$.
[/mm]
Behauptung: [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen a.
Beweis: Sei [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Da [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen a konvergiert, existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|b_n-a|<\bruch{\varepsilon}{3}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Wähle eine beliebige natürliche Zahl [mm] $N'\ge\max(N,\bruch3\varepsilon)$.
[/mm]
Nach Definition von [mm] $b_{N'}$ [/mm] existiert eine natürliche Zahl [mm] $N''\ge [/mm] N'$ mit [mm] $|b_{N'}-a_{N''}|<\bruch{\varepsilon}{3}$.
[/mm]
Nach Wahl von [mm] $a_{N''}$ [/mm] existiert ein [mm] $N_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|x_n-a_{N''}|<\bruch{1}{N''}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N_0$.
[/mm]
Somit gilt für alle [mm] $n\ge N_0$: $|x_n-a_{N''}|<\bruch{1}{N''}\le\bruch{1}{N'}\le\bruch\varepsilon3$.
[/mm]
Nun gilt für alle [mm] $n\ge N_0$:
[/mm]
[mm] |x_n-a|=|(x_n-a_{N''})+(a_{N''}-b_{N'})+(b_{N'}-a)|\le|x_n-a_{N''}|+|a_{N''}-b_{N'}|+|b_{N'}-a|<\ldots
[/mm]
Führe die Ungleichungskette fort und zeige so [mm] $|x_n-a|<\varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Oha, das ist ja sehr umfangreich, vielen Dank! Den Ansatz muss ich mir erst mal durch den Kopf gehen lassen.
Ist so ein Beweis für die zweite/dritte Woche Studium nicht etwas krass? Oder könnte es einen hilfreichen Hilfssatz geben, der den Beweis sehr vereinfachen würde und den ich vielleicht übersehen habe? Ich habe gerade mal den Satz von Bolzano/Weierstraß nachgeschlagen und ein Satz (ohne Namen) aus der Vorlesung kommt dem zumindest nahe:
Ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent, so ist auch jede Teilfolge konvergent, mit demselben Grenzwert.
Hilft mir das eventuell weiter?
(Falls ja, sorry, dass ich nicht vorher darauf gekommen bin, dass der Satz helfen könnte bzw. Bolzano/Weierstraß entspricht)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Oha, das ist ja sehr umfangreich, vielen Dank! Den Ansatz
> muss ich mir erst mal durch den Kopf gehen lassen.
>
> Ist so ein Beweis für die zweite/dritte Woche Studium
> nicht etwas krass?
Absolut! Ich kann mir nicht vorstellen, dass auch nur ein Studienanfänger ihn komplett selbstständig hinkriegt.
> Ich habe gerade mal
> den Satz von Bolzano/Weierstraß nachgeschlagen und ein
> Satz (ohne Namen) aus der Vorlesung kommt dem zumindest
> nahe:
> Ist [mm](a_n)[/mm] konvergent, so ist auch jede Teilfolge
> konvergent, mit demselben Grenzwert.
> Hilft mir das eventuell weiter?
Das ist nicht der Satz von Bolzano/Weierstraß, auch wenn es in ihm um konvergente Teilfolgen geht. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt:
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
> Oder könnte es einen hilfreichen
> Hilfssatz geben, der den Beweis sehr vereinfachen würde
> und den ich vielleicht übersehen habe?
Mit dem Begriff der Cauchy-Folge und der Tatsache, dass jede Cauchy-Folge konvergiert, ist die Aufgabe in wenigen Zeilen erledigt. Kommen Cauchy-Folgen vielleicht in der nächsten Vorlesung dran, noch bevor der aktuelle Zettel abgegeben werden muss?
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> > Oha, das ist ja sehr umfangreich, vielen Dank! Den Ansatz
> > muss ich mir erst mal durch den Kopf gehen lassen.
> >
> > Ist so ein Beweis für die zweite/dritte Woche Studium
> > nicht etwas krass?
> Absolut! Ich kann mir nicht vorstellen, dass auch nur ein
> Studienanfänger ihn komplett selbstständig hinkriegt.
Dann bin ich beruhigt. :)
>
> > Oder könnte es einen hilfreichen
> > Hilfssatz geben, der den Beweis sehr vereinfachen würde
> > und den ich vielleicht übersehen habe?
> Mit dem Begriff der Cauchy-Folge und der Tatsache, dass
> jede Cauchy-Folge konvergiert, ist die Aufgabe in wenigen
> Zeilen erledigt. Kommen Cauchy-Folgen vielleicht in der
> nächsten Vorlesung dran, noch bevor der aktuelle Zettel
> abgegeben werden muss?
Der Prof hat nicht gesagt was als nächstes kommt, aber möglich wäre es natürlich. Ich hoffe dann mal, dass in der Vorlesung morgen was hilfreiches gesagt wird. Ich melde mich dann wieder. Vielen Dank nochmal bis hierhin!
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So da bin ich wieder. Heute kamen tatsächlich Cauchyfolgen vor und folgender Satz:
Eine Folge in [mm] \IR [/mm] ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchyfolge ist.
Das hat mich zusammen mit deiner Antwort auf die Idee gebracht zu zeigen, dass das in der Aufgabe gegebene Kriterium impliziert, dass es eine Cauchyfolge ist. Ob der Beweis(ansatz) so stimmt, weiß ich aber leider nicht. Folgendes war die Idee:
Man setze [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] /2. Dann ist [mm] \varepsilon \ge |a_n [/mm] - a| + [mm] |a_m [/mm] - a| > [mm] |a_n [/mm] - a + a - [mm] a_m [/mm] = [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m|, [/mm] also ist [mm] a_n [/mm] eine Cauchyfolge, also konvergent.
Wenn das so geht, wäre damit ja die Richtung von (2) auf (1) gezeigt und (1) auf (2) ist klar. Nur die Frage: Geht das so? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> So da bin ich wieder. Heute kamen tatsächlich Cauchyfolgen
> vor und folgender Satz:
> Eine Folge in [mm]\IR[/mm] ist genau dann konvergent, wenn sie
> Cauchyfolge ist.
>
> Das hat mich zusammen mit deiner Antwort auf die Idee
> gebracht zu zeigen, dass das in der Aufgabe gegebene
> Kriterium impliziert, dass es eine Cauchyfolge ist.
Hey, das hab ich (FRED) Dir schon in der ersten Antwort gesagt !
Also verkauf das nicht als Deine Idee.
>Ob der
> Beweis(ansatz) so stimmt, weiß ich aber leider nicht.
> Folgendes war die Idee:
>
> Man setze [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] /2.
Ich weiß , was Du meinst, aber so kann man das nicht schreiben.
Dann ist
> [mm]\varepsilon \ge |a_n[/mm] - a| + [mm]|a_m[/mm] - a| > [mm]|a_n[/mm] - a + a - [mm]a_m[/mm]
> = [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m|,[/mm] also ist [mm]a_n[/mm] eine Cauchyfolge, also
> konvergent.
>
> Wenn das so geht,
Fast. Etwas präziser:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 . Nach Vor gibt es ein a [mm] \in \IR [/mm] und ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] |a_n-a|< \varepsilon/2 [/mm] für alle n>N.
Für n.m > N haben wir dann:
[mm] |a_n-a_m| [/mm] = [mm] |a_n-a+a-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
> wäre damit ja die Richtung von (2) auf
> (1) gezeigt
Ja
> und (1) auf (2) ist klar. Nur die Frage: Geht
> das so? :)
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> Hey, das hab ich (FRED) Dir schon in der ersten Antwort
> gesagt !
>
> Also verkauf das nicht als Deine Idee.
Entschuldige bitte, ich habe so lange darüber nachgedacht, dass ich schon wieder vergessen hatte, dass du das vorgeschlagen hattest.
>
> Fast. Etwas präziser:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 . Nach Vor gibt es ein a [mm]\in \IR[/mm] und ein
> N [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]|a_n-a|< \varepsilon/2[/mm] für alle n>N.
>
> Für n.m > N haben wir dann:
>
> [mm]|a_n-a_m|[/mm] = [mm]|a_n-a+a-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a|[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
>
>
Ah, Danke!
Bedarf der Weg (1) => (2) eigentlich auch einer weiteren Ausführung oder ist das bei Kenntnis der Bedeutung von Quantoren "offensichtlich"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Bedarf der Weg (1) => (2) eigentlich auch einer weiteren
> Ausführung oder ist das bei Kenntnis der Bedeutung von
> Quantoren "offensichtlich"?
Wahrscheinlich letzteres. Du kannst ja sicherheitshalber schreiben:
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Nach (1) konvergiert [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$, [/mm] etwa gegen [mm] $a\in\IR$. [/mm] Also [mm] $\exists N\in\IN\colon\forall n\ge N\colon |x_n-a|<\varepsilon$.
[/mm]
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Vielen Dank Fred, Tobias, Marcel! Ich denke jetzt ist die Aufgabe nicht nur gelöst, sondern ich habe auch das Gefühl es verstanden zu haben. :)
Fehlt nun noch der Beweis, dass für eine konvergente Folge [mm] x_n [/mm] mindestens eine der folgenden Aussagen richtig ist:
i) es gibt ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x_n [/mm] = sup [mm] x_n
[/mm]
ii) es gibt ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x_n [/mm] = inf [mm] x_n.
[/mm]
Habe da noch nicht wirklich eine Idee, aber vielleicht kommt das noch. Sonst melde ich mich noch mal in einem neuen Thema.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Hey, das hab ich (FRED) Dir schon in der ersten Antwort
> > gesagt !
> >
> > Also verkauf das nicht als Deine Idee.
>
> Entschuldige bitte, ich habe so lange darüber nachgedacht,
> dass ich schon wieder vergessen hatte, dass du das
> vorgeschlagen hattest.
>
>
> >
> > Fast. Etwas präziser:
> >
> > Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 . Nach Vor gibt es ein a [mm]\in \IR[/mm] und ein
> > N [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > [mm]|a_n-a|< \varepsilon/2[/mm] für alle n>N.
> >
> > Für n.m > N haben wir dann:
> >
> > [mm]|a_n-a_m|[/mm] = [mm]|a_n-a+a-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon.[/mm]
> >
> >
> >
>
> Ah, Danke!
>
> Bedarf der Weg (1) => (2) eigentlich auch einer weiteren
> Ausführung oder ist das bei Kenntnis der Bedeutung von
> Quantoren "offensichtlich"?
es ist offensichtlich: Um das noch ein wenig deutlicher hervorzuheben
(das ganze ist dem, was Tobias geschrieben hat, sehr ähnlich, deswegen
schicke ich es auch nur als Mitteilung):
Es sei $a [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $x_n \to a\,.$ [/mm] Sei nun [mm] $\varepsilon >0\,.$
[/mm]
Dann existiert also ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] mit [mm] $|x_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Gemäß (2) haben wir zu zeigen:
Für [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist zu zeigen, dass es ein [mm] $a'=a'_\varepsilon$ [/mm] so
gibt, dass es ein [mm] $N'=N'_\varepsilon$ [/mm] gibt mit [mm] $|x_n-a'| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für
alle $n [mm] \ge N'\,.$
[/mm]
Mit [mm] $a':=a\,$ [/mm] (damit ist [mm] $a'\,$ [/mm] "sogar unabhg. von [mm] $\varepsilon$") [/mm] und
[mm] $N':=N=N_\varepsilon\,$ [/mm] ist alles getan!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folgendes war die Idee:
>
> Man setze [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] /2. Dann ist
da fehlt zum einen [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] zum anderen geht das, was Du
da schreibst, aber nur für [mm] $\varepsilon=0\,.$ [/mm] Warum?
Naja, wenn [mm] $\varepsilon=\varepsilon/2$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon \not=0\,,$ [/mm] dann
teile mal durch [mm] $\varepsilon\,...$ [/mm]
Siehst Du, wie Fred das anders gelöst hat? Etwa so: Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Dann gibt es zu [mm] $\varepsilon\,':=\varepsilon/2 [/mm] > 0$ ein ...
Gruß,
Marcel
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