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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergieren die folgenden Reihen?
[mm] i) $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{3n}$
[/mm]
[mm] ii) $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{x^n}$
[/mm]
[mm] iii) $\sum_{n=0}^\infty x^{n!}$
[/mm]
Geben Sie für eine dieser Reihen den Grenzwert für x an, für die diese konvergieren.
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Hallo,
Aufgabe i) konnte ich lösen. Ich habe [mm] $x^3=z$ [/mm] substituiert und dadurch eine Potenzreihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] erhalten. Mit Cauchy-Hadamard erhalte ich dann für den Konvergenzradius
[mm] $\frac{1}{r_1}= limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(-1)^n|} [/mm] =1 $ und für x dann [mm] $r_2 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{1}=1$. [/mm]
Ist das so richtig?
ii) habe ich mal mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|$ [/mm] probiert, Ccauchy-Hadamard ging aber noch schneller und ist jeweils [mm] $r_1=1$ [/mm] als Konvergenzradius für [mm] $z=x^{-1}$ [/mm] herausbekommen. Ist mein Konvergenzradius für x dann der Kehrwert, in diesem Fall also ebenfalls 1?
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich mit der Fakultät im Exponenten der dritten Potenzreihe umgehen soll.
Vielen Dank,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mi 25.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für welche [mm]x \in \IR[/mm] konvergieren die folgenden Reihen?
>
> i) [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{3n}[/mm]
>
> ii) [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{x^n}[/mm]
>
> iii) [mm]\sum_{n=0}^\infty x^{n!}[/mm]
>
> Geben Sie für eine dieser Reihen den Grenzwert für x an,
> für die diese konvergieren.
>
> Hallo,
>
> Aufgabe i) konnte ich lösen. Ich habe [mm]x^3=z[/mm] substituiert
> und dadurch eine Potenzreihe der Form [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm]
> erhalten. Mit Cauchy-Hadamard erhalte ich dann für den
> Konvergenzradius
>
> [mm]\frac{1}{r_1}= limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(-1)^n|} =1[/mm]
> und für x dann [mm]r_2 = \sqrt[3]{1}=1[/mm].
>
> Ist das so richtig?
Ja, aber Du mußt noch auf Konvergenz in x = 1 und x=-1 untersuchen.
>
> ii) habe ich mal mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> probiert, Ccauchy-Hadamard ging aber noch schneller und ist
> jeweils [mm]r_1=1[/mm] als Konvergenzradius für [mm]z=x^{-1}[/mm]
> herausbekommen. Ist mein Konvergenzradius für x dann der
> Kehrwert, in diesem Fall also ebenfalls 1?
Die Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^\infty n^2z^n[/mm] konvergiert für |z|<1, also konvergiert
[mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{x^n}[/mm] für |x|>1
>
> Leider habe ich keine Ahnung, wie ich mit der Fakultät im
> Exponenten der dritten Potenzreihe umgehen soll.
Zunächst sollte klar sein, dass die Potenzreihe für x=1 divergiert, also ist der Konvergenzradius [mm] \le [/mm] 1.
Sei |x|<1. Dann ist [mm] |x|^{n!} \le |x|^n. [/mm] Nach dem Majorantenkriterium ist also
[mm]\sum_{n=0}^\infty x^{n!}[/mm] konvergent.
Damit ist der Konvergenzradius = 1
FRED
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> Vielen Dank,
> Palonina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 26.02.2009 | | Autor: | Palonina |
> Ja, aber Du mußt noch auf Konvergenz in x = 1 und x=-1 untersuchen.
Für $x=1$ erhalte ich [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$, [/mm] diese alternierende Reihe divergiert. Im Fall $x=-1$ erhalte ich [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (-1)^{3n}= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{4n}=\sum_{n=0}^\infty [/mm] 1$. Diese Reihe divergiert ebenfalls. Also konvergiert die Potenzreihe nur für $|x|<1$.
Ist das so ok?
> Zunächst sollte klar sein, dass die Potenzreihe für x=1 divergiert, also ist > der Konvergenzradius $ [mm] \le [/mm] $ 1.
> Sei |x|<1. Dann ist $ [mm] |x|^{n!} \le |x|^n. [/mm] $ Nach dem
> Majorantenkriterium ist also
> $ [mm] \sum_{n=0}^\infty x^{n!} [/mm] $ konvergent.
> Damit ist der Konvergenzradius = 1
Ich war ganz auf Cauchy-Hadamard und Euler fixiert, die ich mangels [mm] $a_n$ [/mm] nicht anwenden konnte. Vielen Dank für die Hilfestellung, mit der Fallunterscheidung und dem Majorantenkriterium geht es klar.
Gruß,
Palonina
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Hallo Palonina!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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