Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 28.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
angenommen ich habe zwei Potenzreihen [mm] $\sum_{n \geq 0} a_n (z-z_0)^n$ [/mm] (mit Konvergenzradius R) und [mm] $\sum_{n \geq 0} b_n (z-z_0)^n$ [/mm] (mit Konvergenzradius S) mit der Eigenschaft, dass [mm] $a_n \leq b_n$ [/mm] gilt. Jetzt hat der Prof in der Vorlesung gesagt, dass dann gilt $S [mm] \leq [/mm] R$ bzw., dass mit zunehmender Größe der Koeffizienten der Konvergenzradius kleiner werde.
Ich habe jetzt versucht das über den limsup zu zeigen, aber bekomme es nicht hin, da ich die Eigenschaft mit dem [mm] $\leq$ [/mm] beim Übergang zu der Teilfolge verliere, die als Grenzwert den limsup hat. Was kann man da machen?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 So 28.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> angenommen ich habe zwei Potenzreihen [mm]\sum_{n \geq 0} a_n (z-z_0)^n[/mm]
> (mit Konvergenzradius R) und [mm]\sum_{n \geq 0} b_n (z-z_0)^n[/mm]
> (mit Konvergenzradius S) mit der Eigenschaft, dass [mm]a_n \leq b_n[/mm]
> gilt. Jetzt hat der Prof in der Vorlesung gesagt, dass dann
> gilt [mm]S \leq R[/mm] bzw., dass mit zunehmender Größe der
> Koeffizienten der Konvergenzradius kleiner werde.
Das ist doch Unsinn. Nimm mal [mm] a_n=-n [/mm] und [mm] b_n=2^n.
[/mm]
Gilt vielleicht noch [mm] a_n \ge [/mm] 0 ?
Fred
> Ich habe jetzt versucht das über den limsup zu zeigen,
> aber bekomme es nicht hin, da ich die Eigenschaft mit dem
> [mm]\leq[/mm] beim Übergang zu der Teilfolge verliere, die als
> Grenzwert den limsup hat. Was kann man da machen?
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 28.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
eigentlich nicht, so wie ich ihn verstand hat er nichts davon gesagt, das hat er nur mündlich angemerkt. Es ging um so etwas hier [mm] $n|a_n|t^{n-1}
[mm] $t\geq [/mm] 0$, sodass die erste und auch die zweite Ungleichung definiert sind (sprich die Ausdrücke auf der linken Seite beschränkt). Angenommen Reihen haben jetzt Radius S für den ersten Fall (Ableitung der Reihe [mm] $\sum_{n\geq 0} a_n (z-z_0)^n$) [/mm] und R für den zweiten Fall, dann sollte jetzt gelten [mm] $S\leq [/mm] R$, was er so erklären wollte, wie ich es schon formuliert hatte. Da es hier ja aber um Beträge geht, ist es ja vielleicht zulässig [mm] $a_n \geq [/mm] 0$ zu betrachten.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mo 29.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Nachtrag: es gilt $ S [mm] \leq [/mm] R $ , wenn man fordert:
[mm] $|a_n| \le |b_n|$ [/mm] für fast alle n.
Denn dann hat man
[mm] \wurzel[n]{|a_n|} \le \wurzel[n]{|b_n|} [/mm] für fast alle n.
Und somit
[mm] \lim \sup \wurzel[n]{|a_n|} \le \lim \sup \wurzel[n]{|b_n|} [/mm] .
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 29.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
das habe ich auch verstanden, bis zu dem Punkt, als ich limsup betrachtet habe, weil ich da nicht verstehe, wieso die Eigenschaft bestehen bleibt. Ich hatte es dann so gemacht, dass ich die Teilfolgen die den jeweiligen limsup als Grenzwert hatten betrachtet habe, aber dann ging mir die Eigenschaft mit der Monotonie verloren, weil ja die Indizes der beiden Teilfolgen nicht übereinstimmen müssen, und ich sowas wie [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n+2$ [/mm] oder so haben kann, worüber ich ja nichts mehr weis.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Di 01.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> das habe ich auch verstanden, bis zu dem Punkt, als ich
> limsup betrachtet habe, weil ich da nicht verstehe, wieso
> die Eigenschaft bestehen bleibt. Ich hatte es dann so
> gemacht, dass ich die Teilfolgen die den jeweiligen limsup
> als Grenzwert hatten betrachtet habe, aber dann ging mir
> die Eigenschaft mit der Monotonie verloren, weil ja die
> Indizes der beiden Teilfolgen nicht übereinstimmen
> müssen, und ich sowas wie [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n+2[/mm] oder so haben
> kann, worüber ich ja nichts mehr weis.
> Viele Grüße,
> Reynir
Tja, dann muss man eben tiefer graben ....
Satz: seien [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] reelle und nichtnegative Folgen mit
(*) [mm] $x_n \le y_n [/mm] $ für fast alle n.
Dann gilt:
[mm] $\lim \sup x_n \le \lim \sup y_n$.
[/mm]
Beweis: Fall 1: $ [mm] \lim \sup y_n= \infty$. [/mm] Dann sind wir fertig.
Fall 2: [mm] $y:=\lim \sup y_n [/mm] < [mm] \infty$. (y_n) [/mm] ist also beschränkt. Aus (*) folgt, dass auch [mm] (x_n) [/mm] beschränkt ist. Sei [mm] $x:=\lim \sup x_n [/mm] $.
Es gibt eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] x_{n_k} \to [/mm] x für k [mm] \to \infty. [/mm] Die Teilfolge [mm] (y_{n_k}) [/mm] ist beschränkt, enthält also eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_{k_j}}). [/mm] Sei u ihr Limes. Dann gilt u [mm] \le [/mm] y.
Aus (*) folgt:
[mm] x_{n_{k_j}} \le y_{n_{k_j}} [/mm] für fast alle j.
Mit j [mm] \to \infty [/mm] ergibt sich:
$x [mm] \le [/mm] u $
und daraus, wie gewünscht: x [mm] \le [/mm] y.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 07.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich hätte allerdings noch zwei Fragen:
1. Du sagst [mm] $y_n$ [/mm] sei beschränkt, beziehst du dich dabei auf die Anfangsfolge, weil dann verstehe ich nicht, wie das folgen soll. Bei der Teilfolge wäre es klar, da sie konvergent ist.
2. Unten wählst du [mm] $y_{n_{k_j}}$ [/mm] und dazu eine weitere Teilfolge mit x. Ich habe mich jetzt gefragt, kann es passieren, das in den Folge nicht die gleichen Indizes auftreten, z.B. in der einen nur die geraden Zahlen und in der anderen die ungeraden, weil dann könnte man (*) doch nicht anwenden, oder?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 07.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für deine Antwort.
> Ich hätte allerdings noch zwei Fragen:
> 1. Du sagst [mm]y_n[/mm] sei beschränkt, beziehst du dich dabei
> auf die Anfangsfolge, weil dann verstehe ich nicht, wie das
> folgen soll.
Da [mm] (y_n) [/mm] eine nichtnegative Folge ist, gilt:
[mm] (y_n) [/mm] ist nicht beschränkt [mm] \gdw $\lim \sup y_n [/mm] = [mm] \infty$.
[/mm]
Falls Dir das nicht klar ist, mache es Dir klar.
> Bei der Teilfolge wäre es klar, da sie
> konvergent ist.
> 2. Unten wählst du [mm]y_{n_{k_j}}[/mm] und dazu eine weitere
> Teilfolge mit x. Ich habe mich jetzt gefragt, kann es
> passieren, das in den Folge nicht die gleichen Indizes
> auftreten, z.B. in der einen nur die geraden Zahlen und in
> der anderen die ungeraden, weil dann könnte man (*) doch
> nicht anwenden, oder?
Mann, das ist doch gerade der Clou an der Sache ! Tiefer graben:
[mm] (x_{n_{k}}) [/mm] ist konvergent, so habe wir das ja gewählt.
Ob [mm] (y_{n_{k}}) [/mm] konvergiert , wissen wir nicht (i.a. wird das auch nicht der Fall sein). Was wir wissen ist: [mm] (y_{n_{k}}) [/mm] ist beschränkt, enthält also , nach Bolzano-Weierstrass, eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_{k_j}})
[/mm]
Nun haben wir 2 konvergente Folgen:
[mm] (x_{n_{k_j}}) [/mm] und [mm] (y_{n_{k_j}})
[/mm]
mit der gleichen(!) Folge [mm] n_{k_j} [/mm] von Indices !!! (*) ist also anwendbar.
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Di 08.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielen Dank, ich habe es verstanden.
Viele Grüße,
Reynir
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