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So, hier dann die zweite Frage, um mein Analysis-Wissen für die Zwischenprüfung einigermaßen zu komplettieren 
Den Konvergenzradius haben wir in der Vorlesung nur am Rande mal angesprochen, für die Prüfung wird er aber verlangt. Ich glaube, daß es hier wohl auch um Funktionenfolgen geht und soweit ich weiß, sollte das ganze für den [mm] \IR [/mm] als auch für [mm] \IC [/mm] nützlich sein (möglicherweise ist es erst in C ein echter "Radius" und sonst nur ein Intervall?).
Mein bisheriges Beispiel ist, daß bei [mm] x^n [/mm] (hat wohl was mit "Potenzreihen" zu tun, von denen ich leider nicht viel weiß) der Konvergenzradius 1 betrage, da es für x<1 konvergiert.
Meine Frage: Wie errechnet man das? Und kann mir vielleicht sogar jemand die Formel erklären und warum es Sinn macht?
Danke vielmals,
Euer
Tom
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Gruß!
Der Begriff "Konvergenzradius" taucht bei Potenzreihen auf. Das sind auch Funktionenfolgen, denn die Reihe ist ja der Grenzwert der Partialsummen.
Wenn also eine Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] (x - [mm] a)^k$ [/mm] gegeben ist (ob nun über [mm] $\IR$ [/mm] oder über [mm] $\IC$ [/mm] ist egal) und wir uns einen Punkt [mm] $x_0$ [/mm] ansehen, dann kann man sich fragen, ob die Reihe bei [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert (also für $x = [mm] x_0$).
[/mm]
Für $x = a$ konvergiert die Reihe auf jeden Fall - dann kommt [mm] $c_0$ [/mm] raus. Wenn man nun annimmt, dass es einen Punkt [mm] $x_0 \not= [/mm] a$ gibt, für den die Reihe ebenfalls konvergiert, so folgt sofort, dass für jeden Punkt $z$ mit $|z-a| < [mm] |x_0 [/mm] - a|$ ebenfalls Konvergenz vorliegt, also für alle Punkte, die näher an $a$ liegen als [mm] $x_0$.
[/mm]
Haben wir umgekehrt einen Punkt [mm] $x_1$, [/mm] an dem die Reihe divergiert, dann divergiert sie auch für alle Punkte $z$ mit $|z-a| > [mm] |x_1 [/mm] - a|$.
Und nun kann man den sogenannten Konvergenzradius bestimmen: angenommen, man hat zwei solche Punkte [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] gegeben, dann wählt man einen Punkt "in der Mitte" und prüft dort nach - dadurch reduziert sich der "Ring der Ungewißheit", also der Kreisring, auf dem wir noch nicht wissen, was Sache ist immer mehr, bis er schließlich nur noch eine Linie ist (Intervallschachtelung). Und dann weiß man, dass im Inneren des entstandenen Kreises Konvergenz vorliegt und die Reihe der Partialsummen sogar gleichmäßig konvergiert, sofern man vom Rand wegbleibt (also auf jedem Kreis, der echt in dem Konvergenzkreis enthalten ist).
Umgekehrt divergiert die Reihe außerhalb des Kreises. Auf dem Rand ist i.A. keine Aussage möglich, da sind alle möglichen Fälle denkbar.
Schließlich gibt es noch eine Formel, um diesen Radius auszurechnen:
$r = [mm] \bar{\lim_{n \to \infty}}\frac{1}{\wurzel[n]{|c_n|}}$
[/mm]
Da kann dann auch 0 oder [mm] $\infty$ [/mm] für $r$ rauskommen.
Und Du hast Recht, die "Kreise" sind in [mm] $\IR$ [/mm] einfach Intervalle.
Viel Erfolg bei der Prüfung!
Lars
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Danke für die schnelle Antwort! Einen Schritt weiter bin ich jetzt schonmal. Aber ganz verstanden habe ich es noch nicht.
Du schreibst:
"Wenn man nun annimmt, dass es einen Punkt [mm] $x_0 \not= [/mm] a$ gibt, für den die Reihe ebenfalls konvergiert, so folgt sofort, dass für jeden Punkt $z$ mit $|z-a| < [mm] |x_0 [/mm] - a|$ ebenfalls Konvergenz vorliegt, also für alle Punkte, die näher an $a$ liegen als [mm] $x_0$. [/mm] "
Das klingt für mich recht naheliegend, daß Punkte mit geringerem Abstand dann ebenfalls konvergieren, allerdings verstehe ich noch nicht, warum das zwangsläufig dafür folgt (insbesondere warum es zwangsläufig für ALLE Punkte mit näherem Abstand folgt).
Und dann wüßte ich gern noch, ob man die erwähnte Formel anschaulich erklären kann:
$r = [mm] \bar{\lim_{n \to \infty}}\frac{1}{\wurzel[n]{|c_n|}}$
[/mm]
Der Rest war schonmal sehr hilfreich, danke 
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Hallo nochmal!
Zum ersten Punkt kann ich helfen: nehmen wir an, dass die Reihe bei [mm] $x_0 \not= [/mm] a$ absolut konvergiert und geben uns nun ein $z$ vor mit $|z-a| < [mm] |x_0 [/mm] - a|$. Sei $q := [mm] \frac{|z-a|}{|x_0 -a|} [/mm] < 1$. Damit ist [mm] $q^k \leq [/mm] 1$ für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] und es gilt:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty |c_k| [/mm] |z - [mm] a|^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty |c_k| \frac{|z-a|^k}{|x_0 -a|^k} |x_0-a|^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty |c_k| q^k |x_0-a|^k \leq \sum_{k=0}^\infty |c_k| |x_0-a|^k [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Und das war zu zeigen.
Lars
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