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| Aufgabe | Man bestimme die Konvergenzradien der Potenzreihen
[mm] a)\summe_{k=1}^{\infty}k^{5}5^{k}x^{k}
[/mm]
[mm] b)\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}x^{k}
[/mm]
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das habe ich bisher:
[mm] a)\summe_{k=1}^{\infty}k^{5}5^{k}x^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(k-1)^{5}5^{k-1}x^{k-1}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \vmat{\bruch{k^{5}5^{k}x^{k}}{(k-1)^{5}5^{k-1}x^{k-1}}}=5\vmat{x}(\bruch{k}{k-1})^{5}<1 \wedge k\to\infty \wedge 5\vmat{x}<1 \Rightarrow \vmat{x}<\bruch{1}{5} \Rightarrow R=\bruch{1}{5} [/mm]
b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}x^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{k}{k-1})^{k-1}^{2}x^{k-1} \Rightarrow \vmat{(\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}x^{k})/(\bruch{k-1}{k})^{k-1}^{2})}=\vmat{x}\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}(\bruch{k}{k-1})^{k-1}^{2}<1 \wedge k\to\infty \wedge \vmat{x}\infty [/mm] *1<1 ????
(da wo die 2en stehen sollte es eigentlich ein Quadrat werden, wollte nur irgendwie nicht so richtig)
tja, also hab ich was falsch gemacht oder noch nicht gemacht etc. wie komm ich aufs ergebnis?
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> Man bestimme die Konvergenzradien der Potenzreihen
> [mm]a)\summe_{k=1}^{\infty}k^{5}5^{k}x^{k}[/mm]
> [mm]b)\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}x^{k}[/mm]
>
> das habe ich bisher:
>
> [mm]a)\summe_{k=1}^{\infty}k^{5}5^{k}x^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(k-1)^{5}5^{k-1}x^{k-1}[/mm]
> Quotientenkriterium:
> [mm]\vmat{\bruch{k^{5}5^{k}x^{k}}{(k-1)^{5}5^{k-1}x^{k-1}}}=5\vmat{x}(\bruch{k}{k-1})^{5}<1 \wedge k\to\infty \wedge 5\vmat{x}<1 \Rightarrow \vmat{x}<\bruch{1}{5} \Rightarrow R=\bruch{1}{5}[/mm]
>
> b)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}x^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{k}{k-1})^{k-1}^{2}x^{k-1} \Rightarrow \vmat{(\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}x^{k})/(\bruch{k-1}{k})^{k-1}^{2})}=\vmat{x}\bruch{k+1}{k})^{k}^{2}(\bruch{k}{k-1})^{k-1}^{2}<1 \wedge k\to\infty \wedge \vmat{x}\infty[/mm]
> *1<1 ????
> (da wo die 2en stehen sollte es eigentlich ein Quadrat
> werden, wollte nur irgendwie nicht so richtig)
>
> tja, also hab ich was falsch gemacht oder noch nicht
> gemacht etc. wie komm ich aufs ergebnis?
>
Hallo,
ich werde aus dem, was Du schreibst, noch nicht so richtig schlau, stimme bzgl. des ersten Ergebnisses aber mit Dir überein.
Das zweite Ergebnis kann ich nicht erkennen.
(Tip: statt Zeichensprache sind mitunter ein, zwei erläuternde Worte hilfreicher. Und richtiger.)
Prinzipiell geht es hier ja um die Ermittlung des Konvergenzradius einer Potenzreihe [mm] \summe a_nx^n.
[/mm]
Wie das geht, kannst Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Für Aufgabe a) bietet sich der Quotient an, für Aufgabe b) Cauchy-Hadamard.
Bei Aufgabe a) steckt, so wie Du es gemacht hast, der richtige Gedanke dahinter, es ist halt äußerst kraus aufgeschrieben.
Wenn Du die oben angegebenen Formeln verwendest - ich bin mir recht sicher, daß sie in der Vorlesung dran waren - bist Du die Last mit dem x los.
Es ist behaglicher, probier's aus!
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 03.07.2007 | | Autor: | wauwau |
b) würde ich mit dem Wurzelkriterium angehen....
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