Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 07.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | [mm] f(z)=\bruch{3z^2+1}{z+1} [/mm]in eine Potenzreihe entwickeln für [mm] z_0 [/mm] =2 und Konvergenzradius bestimmen?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Potenzreihe von: [mm] f(z)=\bruch{3z^2+1}{z+1} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{3}* \bruch{3z^2+1}{1-\bruch{-(z-2)}{3}} [/mm] Das ist dann
[mm] \bruch{3(z-2)^2+12(z-2)+13}{3} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}(\bruch{-(z-2)}{3})^k
[/mm]
Jetzt verstehe ich dann nicht wie ich auf:
[mm] \bruch{13}{3}+\bruch{23}{9}(z-2)+ \summe_{k=2}^{n}(-1)^k \bruch{4}{3^{k+1}}(z-2)^k [/mm] soll?
Und wie erkenne ich aus der letzten Gleichung, dass diese Reihe für |z-2|<3 konvergiert. Brauche ich da kein Quotientenkriterium oder Cauchy-Hadamard?
Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
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> [mm]f(z)=\bruch{3z^2+1}{z+1} [/mm]in eine Potenzreihe entwickeln
> für [mm]z_0[/mm] =2 und Konvergenzradius bestimmen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die Potenzreihe von: [mm]f(z)=\bruch{3z^2+1}{z+1}[/mm] ist
> [mm]\bruch{1}{3}* \bruch{3z^2+1}{1-\bruch{-(z-2)}{3}}[/mm] Das ist
> dann
>
> [mm]\bruch{3(z-2)^2+12(z-2)+13}{3}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(\bruch{-(z-2)}{3})^k[/mm]
>
> Jetzt verstehe ich dann nicht wie ich auf:
> [mm]\bruch{13}{3}+\bruch{23}{9}(z-2)+ \summe_{k=2}^{n}(-1)^k \bruch{4}{3^{k+1}}(z-2)^k[/mm]
> soll?
Das wird auch eine ganz blödsinnige Rechnerei: so dass ich gar keine Lust verspüre, Dir den weiteren Verlauf vorzurechnen. Damit will ich nicht gesagt haben, dass Deine Grundidee falsch ist. Nur wäre es, aus rein pragmatischen Gründen, gescheiter gewesen, zuerst einmal eine Polynomdivision zu machen. Es ist
[mm]\begin{array}{rcll}
f(z) &=& \frac{3z^2+1}{z+1} &\text{(Polynomdivision)}\\
&=& 3z-3+\frac{4}{z+1}\\
&=& 3(z-2)+3+\frac{4}{3+(z-2)}\\
&=& 3(z-2)+3+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{1+\frac{z-2}{3}}\\
&=& 3(z-2)+3+\frac{4}{3}\cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{3^k} (z-2)^k\\
&=& \ldots
\end{array}[/mm]
>
> Und wie erkenne ich aus der letzten Gleichung, dass diese
> Reihe für |z-2|<3 konvergiert.
Leicht modifiziertes Wurzelkriterium: Der Konvergenzradius einer Potenzreihe [mm] $\sum_k^\infty a_k (z-z_0)^n$ [/mm] ist
[mm]R = \frac{1}{\limsup_{k\rightarrow \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}[/mm]
D.h. die Potenzreihe konvergiert (absolut) für alle $z$ mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < R$.
In Deinem Fall ist dies
R = [mm] \frac{1}{\limsup_{k\rightarrow \infty}\sqrt[k]{\Big|\frac{(-1)^k}{3^k}\Big|}}=\frac{1}{\limsup_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{3}}=\frac{1}{\;\frac{1}{3}\;} [/mm] = 3
> Brauche ich da kein
> Quotientenkriterium oder Cauchy-Hadamard?
Wurzelkriterium (s.o.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 So 08.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir sehr weitergeholfen!
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