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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mo 06.04.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Funktion:
c(x) := [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{sin(t)}{t} dt}.
[/mm]
Berechnen sie die Taylorreihen-Entwicklung von c(x) um [mm] x_{0} [/mm] = 0. |
Haaalllooo
Hier kann man ja denn Satz anwenden, der sagt, dass eine gleichmässig konvergente Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_{n} [/mm] =: f von Regelfunktoinen stelle eine Regelfunktion dar, und darf gliedweise integriert werden.
Bevor man aber diesen Satz benutzt, müsste man ja noch zeigen, dass die Reihe gleichmässig konvergiert, und das macht man, indem man den Konvergenzradius berechnet und dieser soll >0 sein.
Hier habe ich das Problem, dass ich nicht genau weiss, wie ich den Konvergenzradius von sin(t) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} t^{2k+1}.
[/mm]
Ich würde hier das Wurzelkriterium benutzen, also [mm] \wurzel[2k+1]{a_{k}} [/mm] wobei [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!}. [/mm] Aber wie weiter...?! Wird so kompliziert... Ich weiss auch schon, dass der [mm] Konvergenzradius=\infty [/mm] ist.
Kann mir jemand helfen? daaankschööön.
lg daisa
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Hallo daisa,
> Gegeben ist folgende Funktion:
> c(x) := [mm]\integral_{0}^{x}{\bruch{sin(t)}{t} dt}.[/mm]
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> Berechnen sie die Taylorreihen-Entwicklung von c(x) um
> [mm]x_{0}[/mm] = 0.
> Haaalllooo
>
> Hier kann man ja denn Satz anwenden, der sagt, dass eine
> gleichmässig konvergente Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} f_{n}[/mm]
> =: f von Regelfunktoinen stelle eine Regelfunktion dar, und
> darf gliedweise integriert werden.
> Bevor man aber diesen Satz benutzt, müsste man ja noch
> zeigen, dass die Reihe gleichmässig konvergiert, und das
> macht man, indem man den Konvergenzradius berechnet und
> dieser soll >0 sein.
>
> Hier habe ich das Problem, dass ich nicht genau weiss, wie
> ich den Konvergenzradius von sin(t) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} t^{2k+1}.[/mm]
>
> Ich würde hier das Wurzelkriterium benutzen, also
> [mm]\wurzel[2k+1]{a_{k}}[/mm] wobei [mm]a_{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!}.[/mm] Aber wie weiter...?! Wird so
> kompliziert... Ich weiss auch schon, dass der
> [mm]Konvergenzradius=\infty[/mm] ist.
Das Quotientenkriterium ist hier besser hanzuhaben.
[mm]r:=\limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}}[/mm]
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> Kann mir jemand helfen? daaankschööön.
>
> lg daisa
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 06.04.2009 | | Autor: | daisa |
Hi Mathepower,
Danke für deine Antwort!
Ich versuche es jetzt mal... aber für zum das Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium anwenden zu können, muss das t ja [mm] t^{2} [/mm] sein und hier in diesem Fall ist es [mm] t^{2k+1}, [/mm] deshalb hab ich gedacht, dass Wurzelkriterium besser wäre, da man dann die (2k+1)te Wurzel ziehen kann.
Was mach ich denn damit beim Quotientenkriterium?
lg daisa
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Hallo daisa,
> Hi Mathepower,
>
> Danke für deine Antwort!
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> Ich versuche es jetzt mal... aber für zum das
> Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium anwenden zu
> können, muss das t ja [mm]t^{2}[/mm] sein und hier in diesem Fall
> ist es [mm]t^{2k+1},[/mm] deshalb hab ich gedacht, dass
> Wurzelkriterium besser wäre, da man dann die (2k+1)te
> Wurzel ziehen kann.
> Was mach ich denn damit beim Quotientenkriterium?
Nun, da muß die Reihe etwas anders geschrieben werden:
[mm]\sin\left(t\right)= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} t^{2k+1}= t* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} t^{2k} = t* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} \left( \ t^{2} \ \right)^{k} [/mm]
Jetzt kann der Konvergenzradius der Reihe
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} \left( \ t^{2} \ \right)^{k} [/mm]
bestimmt werden.
>
> lg daisa
Gruß
MathePower
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