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Hallo,
Aufgabe: Bestimmen sie den Konvergenzradius p der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^a} [/mm] für [mm] a\ge0
[/mm]
Nun gut, ich forme um: [mm] \bruch{1}{k^a} [/mm] * [mm] k^k.
[/mm]
Wenn a>1 dann ist die reihe konvergent.
Ist dann mein Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{a} [/mm] für a>1 ?
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig | Datum: | 11:59 Fr 03.07.2009 | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Aufgabe: Bestimmen sie den Konvergenzradius p der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^a}[/mm] für [mm]a\ge0[/mm]
> Nun gut, ich forme um: [mm]\bruch{1}{k^a}[/mm] * [mm]k^k.[/mm]
??????????????????????????
> Wenn a>1 dann ist die reihe konvergent.
> Ist dann mein Konvergenzradius [mm]\bruch{1}{a}[/mm] für a>1 ?
>
> Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Deine potenzreihe ist von der Form
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_kx^k [/mm] mit [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^a}
[/mm]
Nun berechne mal
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}
[/mm]
Was ist dann der Konvergenzradius ?
FRED
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Also die K-te Wurzel aus irgendwas , hier ak, für k gegen unendlich hat als GW ja immer 1.
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> Also die K-te Wurzel aus irgendwas , hier ak, für k gegen
> unendlich hat als GW ja immer 1.
Hallo,
naja, daß es völlig schnuppe ist, woraus man die k-te Wurzel zieht ("aus irgendwas"), glaube ich nun nicht...
Gruß v. Angela
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Naja aus x element R halt oder ?
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(Antwort) fertig | Datum: | 12:06 Fr 03.07.2009 | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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Nun soll ich das KOnvergenzverhalten der Reihe für |x|=p untersuchen für
a=0,0<a<=1,a>1.
Aber a ist ja hier garnicht von bedeutung da mein Konvergenradius immer 1 ist egal was a ist.
Das einzige was ich dazu sagen könnte wäre das wenn a=0 die Reihe divergiert, für 0<a<=1 divergiert udn für a>1 konvergiert aufgrund von [mm] \bruch {1}{k^a}*x^k [/mm] und abhängig von a die Konvergenz zu prüfen ist.
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Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 12:20 Fr 03.07.2009 | Autor: | fred97 |
Für x =1 bzw. x = -1 mußt Du untersuchen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a} [/mm] $ bzw $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k^a} [/mm] $
Ich denke über diese Reihen habt Ihr schon einiges gelernt !
FRED
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Ich hätte gesagt für :
+1 : a=0-> a < 1 also divergent
-1 dasselbe
+1: a<0<=1 ->a <1 also divergent
-1 dasselbe
+1 a>1 -> a>1 also konvergent
-1 dasselbe
Richtig?
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(Antwort) fertig | Datum: | 12:33 Fr 03.07.2009 | Autor: | fred97 |
> Ich hätte gesagt für :
> +1 : a=0-> a < 1 also divergent
O.K.
> -1 dasselbe
Falsch
> +1: a<0<=1 ->a <1 also divergent
Es ist doch a [mm] \ge [/mm] 0 vorausgesetzt !
> -1 dasselbe
> +1 a>1 -> a>1 also konvergent
O.K.
> -1 dasselbe
O.K.
Bei x =-1 denke an das Leibnizkriterium !
FRED
>
> Richtig?
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Ja aber bei a=0 steht da
[mm] -(1)^k.
[/mm]
Mittles Leibnitz für k gerade ist der GW 1 und ungerade (-1).
Also ungleich 0 von daher divergierts doch oder?
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Hallo,
> Ja aber bei a=0 steht da
> [mm]-(1)^k.[/mm]
Du meinst, dass du für $x=-1$ und $a=0$ die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k$ [/mm] hast ...
Klammern richtig setzen!
> Mittles Leibnitz für k gerade ist der GW 1 und ungerade
> (-1).
> Also ungleich 0 von daher divergierts doch oder?
Es ist [mm] $(-1)^k=(-1)^k\cdot{}1=(-1)^k\cdot{}a_k$
[/mm]
Um mit Leibniz überhaupt eine Aussage treffen zu können, müsste [mm] $(a_k)_{k}=(1)_k$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge sein ...
Wenn das nicht so ist, ist Leibniz nicht brauchbar
Hier bei der Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k$ [/mm] kannst du mit dem Trivialkriterium argumentieren, so wie du es gemacht hast und daraus folgen, dass die Reihe also für $x=-1, a=0$ divergent ist
LG
schachuzipus
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Ja hab ich ja aber Fred97 hat gemeint das wäre falsch und ich soll an das leibnitz Kriterium denken ???!???
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Hallo nochmal,
> Ja hab ich ja aber Fred97 hat gemeint das wäre falsch und
> ich soll an das leibnitz Kriterium denken ???!???
Ja, für $x=-1$ und $a>0$
Für $a=0$ hast du diesen Spezialfall
LG
schachuzipus
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Mh, ich verstehe leider garnichts mehr. Was habe ich jetzt genau wie falsch gemacht und wie macht man es richtig???
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Hallo nochmal,
ich werde aus deinem Geschreibsel oben nicht recht schlau ...
Vllt. kannst du nochmal die Fälle für $a$ aufschreiben, wobei $x=-1$ ist ...
Die anderen scheinen ja geklärt.
Den Fall $a=0$ hatten wir, wie sieht's für $a>0$ aus?
Sind da die Vor. für Leibniz erfüllt?
Du hat ja die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k^{a}}$
[/mm]
Schreibe es mal sauber und strukturiert auf, dann sehen wir weiter ...
LG
schachuzipus
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Korrektur meinte am Anfang ist diese divergent.
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Warum ist eigentlich 1/k divergent ( wegen [mm] k^a [/mm] mit a=1 im Nenner ) und (-1)/k konvergent ????
Glaub da liegt das Verständnisproblem
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Meinte natürlich [mm] (-1)^k/k
[/mm]
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Kann sich dem vielleicht noch einer kurz annehmen, kann sonst nicht weiterlernen .Vielen lieben dank
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Hallo nochmal,
> ...mit ausschließlich positiven Gliedern da sie nicht
> alternierend ist.
und die k alle >0 sind.
Was ist mit der Monotonie?
Das ist eine der zentralen Voraussetzungen für Leibniz, das sollte also erfüllt sein und bedarf einer kurzen Begründung
> Also für den Fall [mm]01[/mm] konvergiert die
> Reihe.
Ja, also für $a>0$, das ist gleichbedeutend mit deinem [mm] $0
Wieso schreibst du das so umständlich?
> Was mach ich da jetzt mit Leibnitz.
Der gute Mann schreibt sich ohne tz
Leibniz liefert dir doch gerade die Konvergenzaussage:
Zum 10. Mal:
Für $x=-1$ und $a>0$ hast du die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^{a}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\underbrace{\frac{1}{k^{a}}}_{a_k}$ [/mm] und die Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}=\left(\frac{1}{k^{a}}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge mit ausschließlich positiven Gliedern
Damit konvergieren all diese Reihen nach Leibniz
> es hieß ja das
> [mm]((-1)^k)/k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine konvergente alternierende Reihe ist
> unabhängig von a ?!?!
Aha, unabhängig von \gamma auch ...
Du solltest genauer schreiben, was du meinst
Sagen wir besser für $a>0$ und du meinst die Reihen $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^{\red{a}}$
Wieso lässt du das a eigentlich weg??
LG
schachuzipus
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