Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Hauba |
| Aufgabe | | konvergenz,radius,konvergenzradius |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich komme bei den 3 Aufgaben nicht weiter...
Aufagbe: Bestimmen Sie den Konvergenz-radius fuer folgende Potenzreihen:
[mm] \summe_{n>=0} \alpha^{n} x^{n} [/mm] (alpha element von [mm] \IR)
[/mm]
[mm] \summe_{n>=0} n^{k} x^{n} [/mm] (k element von [mm] \IN)
[/mm]
[mm] \summe_{n>=0} \beta^{\wurzel{n}} x^{n} (\beta>0)
[/mm]
Danke im vorraus...
MfG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du eine Potenzreihe
$ [mm] \summe_{n \ge 0} a_nx^{n} [/mm] $
gegeben hast, was ist Dir über den Konvergenzradius bekannt ?
Teil uns das mal mit, dann sehen wir weiter.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Hauba |
leider nicht viel...also eine erklaerung wie ich da am besten dranngehe waere nett...
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn ihr keine Formeln für die Berechnung des Konvergenzradius für Potenzreihen (Stichwort: Cauchy-Hadamard, Euler) hattet, dann benutze die bekannten Konvergenzkriteriun für "normale" Reihen.
Sprich: Quotientenkrit. und/oder Wurzelkrit.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Hauba |
tut mir leid aber ich kapier einfach nicht wie ich den radius mit cauchy ausrechne...
kann das vllt jemand vorrechnen mit ine paar kommentaren :)
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es sei
$ [mm] \summe_{n \ge 0} a_nx^{n} [/mm] $
eine Potenzreihe. Dann berechnest Du
$p:=lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}$
[/mm]
Ist p = [mm] \infty, [/mm] so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = 0.
Ist p = 0, so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = [mm] \infty.
[/mm]
Ist0 < p < [mm] \infty, [/mm] so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = 1/p
Frage: das hattet ihr also nicht in der Vorlesung ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Hauba |
doch schon, aber ich war die ganze letzte woche krank und unser Prof. schreibt das alles ziemlich krass auf...
aber danke schonmal so leuchtet es mir doch irgendwie ein.
wie is das denn bei der 2ten und 3ten aufgabe?
was macht es an unterschied ob k ein element von |N oder von |R ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Bei
$ [mm] \summe_{n>=0} n^{k} x^{n} [/mm] $
ist k [mm] \in \IN [/mm] fest. Hier ist [mm] a_n [/mm] = [mm] n^k, [/mm] also [mm] \wurzel[n]{|a_n|}= (\wurzel[n]{n})^k.
[/mm]
Und gegen was konvergiert dann die Folge ( [mm] \wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] ?
Was ist der Konvergenzradius ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Hauba |
es kommt doch drauf an was p ist oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:40 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> es kommt doch drauf an was p ist oder?
Ja und was ist p ? Berechne es doch !
Tipp: [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 (n [mm] \to \infty) [/mm] (nie wieder vergessen !!)
FRED
|
|
|
|
