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Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mi 22.09.2010
Autor: EdwinMoses

Aufgabe
Bestimmen Sie die Konvergenzradien nachstehender Potenzreihen und damit die offenen Intervalle (a,b) in denen die Reihen konvergieren.

a) s(x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \bruch{(x-1)^{i}}{i} [/mm]

Hallo,

Hier erstmal die Lösung:
R = [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{i}}{\bruch{1}{i+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{i+1}{i} [/mm] = 1

Das offene Intervall, in dem die Reihe sicher konvergiert lautet [mm] (x_{0} [/mm] - R, [mm] x_{0} [/mm] + R) = (0,2)

Meine Frage ist wie ich die gegebene Potenzreihe auf die Form in der Lösung umwandel. Die Formel für das Quotientenkriterium ist mir bekannt:
R= [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{a_{i}}{a_{i}+1}| [/mm]
Dennoch weiß ich nicht wie ich es korrekt auf diese Form bringe und was in der Beispielaufgabe z.B [mm] a_{i} [/mm] sein soll. Ich bitte um eure Hilfe!

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mi 22.09.2010
Autor: fencheltee


> Bestimmen Sie die Konvergenzradien nachstehender
> Potenzreihen und damit die offenen Intervalle (a,b) in
> denen die Reihen konvergieren.
>  
> a) s(x) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \bruch{(x-1)^{i}}{i}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Hier erstmal die Lösung:
>   R = [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{i}}{\bruch{1}{i+1}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{i+1}{i}[/mm] = 1
>  
> Das offene Intervall, in dem die Reihe sicher konvergiert
> lautet [mm](x_{0}[/mm] - R, [mm]x_{0}[/mm] + R) = (0,2)
>  
> Meine Frage ist wie ich die gegebene Potenzreihe auf die
> Form in der Lösung umwandel. Die Formel für das
> Quotientenkriterium ist mir bekannt:
> R= [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{a_{i}}{a_{i}+1}|[/mm]

potenzreihen schreibt man ja allgemein so:
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n [/mm]
dann gilt für den konvergenzradius
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm]

nicht zu verwechseln beim quotientenkriterium
[mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm]
wo meistens das [mm] a_n [/mm] als folge einer summe gemeint ist, und nicht bloss dem koeffizient vor dem entwicklungspunkt
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm]

>  
> Dennoch weiß ich nicht wie ich es korrekt auf diese Form
> bringe und was in der Beispielaufgabe z.B [mm]a_{i}[/mm] sein soll.
> Ich bitte um eure Hilfe!

gruß tee

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Mi 22.09.2010
Autor: EdwinMoses

ich hab meinen fehler mittlerweile auch bemerkt. Ich habe das Quotienkriterium falsch gelesen und die +1 im Nenner nicht zum index dazugezählt sondern zum a. Jetzt ergibt die Aufgabe Sinn :) Vielen Dank

Bezug
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