Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 30.09.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{2^n}}x^n [/mm] |
Liebe Community,
bitte prüft ob das in Ordnung ist. Für Tipps wäre ich auch dankbar!
Ich verwende die Formel:
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
und komme dann auf:
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2^n}}}{\bruch{1}{\wurzel{2^{n+1}}}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\wurzel{2^n}\wurzel{2}}{\wurzel{2^n}}|
[/mm]
[mm] R=\wurzel{2}
[/mm]
Ist das korrekt?
Dann prüfe ich die Grenzen [mm] (\wurzel{2} [/mm] und [mm] -\wurzel{2}) [/mm] auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{2^n}}*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2^n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2}^{1-n} \Rightarrow \infty
[/mm]
Somit ist die Reihe an der Stelle [mm] \wurzel{2} [/mm] divergent.
Analog die Lösung für [mm] -\wurzel{2}.
[/mm]
Damit ist das Konvergenzintervall [mm] ]-\wurzel{2}, \wurzel{2}[
[/mm]
LG ATDT
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Hallo ATDT,
> Berechne den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{2^n}}x^n[/mm]
> Liebe
> Community,
>
> bitte prüft ob das in Ordnung ist. Für Tipps wäre ich
> auch dankbar!
>
> Ich verwende die Formel:
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> und komme dann auf:
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2^n}}}{\bruch{1}{\wurzel{2^{n+1}}}}|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\wurzel{2^n}\wurzel{2}}{\wurzel{2^n}}|[/mm]
>
> [mm]R=\wurzel{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist das korrekt?
Ja!
>
> Dann prüfe ich die Grenzen [mm](\wurzel{2}[/mm] und [mm]-\wurzel{2})[/mm]
> auf Konvergenz:
ok!
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{2^n}}*\wurzel{2}[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wenn ich in [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\cdot{}\red{x}^n[/mm] für [mm]\red{x=\sqrt{2}}[/mm] einsetze, so erhalte ich:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\cdot{}\left(\red{\sqrt{2}}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}1[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2^n}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2}^{1-n} \Rightarrow \infty[/mm]
Was bedeutet das = zu Anfang? und was der Folgerungspfeil?
Das ist übelste Notation, die mir das Blut in den Adern gefrieren lässt ...
>
> Somit ist die Reihe an der Stelle [mm]\wurzel{2}[/mm] divergent.
> Analog die Lösung für [mm]-\wurzel{2}.[/mm]
Welche Reihe erhältst du für [mm]x=-\sqrt{2}[/mm] ?
>
> Damit ist das Konvergenzintervall [mm]]-\wurzel{2}, \wurzel{2}[[/mm]
Das stimmt zwar letztlich, aber die Begründung musst du nochmal nachliefern!
>
> LG ATDT
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> >
> > Das stimmt zwar letztlich, aber die Begründung musst du
> > nochmal nachliefern!
>
> Also ergebnis für [mm]-\wurzel{2}[/mm] ist dann -1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und für
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ist 1.
Mensch, Mensch, es ist [mm] $\left(-\sqrt{2}\right)^n=(-1)^n\cdot{}\left(\sqrt{2}\right)^n$
[/mm]
Es ergibt sich für [mm] $x=-\sqrt{2}$ [/mm] also die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n$
[/mm]
> Nun begründe ich es mit den 2 Häufungspunkten. Also ist
> die Reihe an diesen stellen divergent.
Besser mit dem Trivialkriterium.
Die den Reihen zugrunde liegenden Folgen der Reihenglieder [mm] $(1)_{n\in\IN}$ [/mm] (für [mm] $x=\sqrt{2}$) [/mm] bzw. [mm] $\left((-1)\right)_{n\in\IN}$ [/mm] sind KEINE Nullfolgen (die erste ist konstant $1$, die zweite hüpft zwischen [mm] $\pm [/mm] 1$ hin- und her)
Daher ist das Trivialkriterium verletzt und die zug. Reihen sind divergent
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> > Hallo nochmal,
> >
> > > >
> > > > Das stimmt zwar letztlich, aber die Begründung musst du
> > > > nochmal nachliefern!
> > >
> > > Also ergebnis für [mm]-\wurzel{2}[/mm] ist dann -1 und für
> > > [mm]\wurzel{2}[/mm] ist 1.
> >
> > Mensch, Mensch, es ist
> >
> [mm]\left(-\sqrt{2}\right)^n=(-1)^n\cdot{}\left(\sqrt{2}\right)^n[/mm]
> >
> > Es ergibt sich für [mm]x=-\sqrt{2}[/mm] also die Reihe
> > [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n[/mm]
> >
> > > Nun begründe ich es mit den 2 Häufungspunkten. Also ist
> > > die Reihe an diesen stellen divergent.
> >
> > Besser mit dem Trivialkriterium.
> >
> > Die den Reihen zugrunde liegenden Folgen der Reihenglieder
> > [mm](1)_{n\in\IN}[/mm] (für [mm]x=\sqrt{2}[/mm]) bzw.
> > [mm]\left((-1)\right)_{n\in\IN}[/mm] sind KEINE Nullfolgen (die
> > erste divergiert gegen [mm]\infty[/mm], die zweite hüpft zwischen
> > [mm]\pm 1[/mm] hin- und her)
> >
>
> Das mit den hin und her hüpfen ist klar. Aber was
> divergiert gegen unendlich? bitte erklär mir das mal.
Ok, kurz vorab, damit wir nicht aneinander vorbei reden:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \ \text{konvergiert} \ \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist Nullfolge}[/mm]
ist mit Kontraposition äquivalent zu:
[mm](a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist KEINE Nullfolge} \ \Rightarrow \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \ \text{divergiert}[/mm]
Das ist das Trivialkriterium.
Für [mm]x=\sqrt{2}[/mm] hast du die Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}1[/mm]
Da ist [mm](a_n)_{n\in\IN}=(1)_{n\in\IN}[/mm] die konstante Folge [mm]1,1,1,1,\ldots[/mm]
Also [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge, daher divergiert die Reihe.
Anschaulich betrachtet ist das klar, denn in [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}1[/mm] wird "unendlich oft" die 1 aufsummiert.
Dass diese Reihe keinen endlichen Wert hat, also nicht konvergent ist, ist anschaulich klar!
>
> Und herzlichen Dank für deine schnelle Hilfe Schachuzipus
Jo, gerne
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Do 30.09.2010 | | Autor: | ATDT |
Vielen Dank! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
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