Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}$ [/mm] |
Hallo,
ich hänge bei dieser Aufgabe am Ende leider fest. Kann mir bitte jemand sagen, wie es an dieser Stelle weitergeht?
Verwende das Quotientenkriterium:
[mm] $\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!*2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}*n!}=\left( \bruch{2^{n}}{2^{n+1}} \right)^{2}*\bruch{n!(n+1)}{n!}=\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}*(n+1)=\bruch{1}{4}*(n+1)$
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hänge bei dieser Aufgabe am Ende leider fest. Kann mir
> bitte jemand sagen, wie es an dieser Stelle weitergeht?
>
> Verwende das Quotientenkriterium:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!*2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}*n!}=\left( \bruch{2^{n}}{2^{n+1}} \right)^{2}*\bruch{n!(n+1)}{n!}=\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}*(n+1)=\bruch{1}{4}*(n+1)[/mm]
>
>
es ist z.b. [mm] (2^n)^2=2^{2*n} [/mm] deshalb stimmt dein 2. gleichheitszeichen nicht. multiplizier die exponenten lieber aus und kürze.
der radius ist der kehrwert deines grenzwertes
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
gruß tee
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n} [/mm] $ |
Hallo tee,
ich hab das jetzt verbessert, hänge aber leider wieder Richtung Ende:
[mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!*2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}*n!}=\bruch{2^{n^{2}}*n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}*n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(n+1)[/mm]
Wäre super, wenn Du mir einen kleinen Tipp geben könntest, wie man da weiterrechnet.
Ich danke Dir!
Gruß
el_grecco
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> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}[/mm]
> Hallo tee,
>
> ich hab das jetzt verbessert, hänge aber leider wieder
> Richtung Ende:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!*2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}*n!}=\bruch{2^{n^{2}}*n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}*n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(n+1)[/mm]
>
>
> Wäre super, wenn Du mir einen kleinen Tipp geben
> könntest, wie man da weiterrechnet.
schreit doch nach l'hopital, findest du nicht? ;)
>
> Ich danke Dir!
>
> Gruß
> el_grecco
>
gruß tee
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n} [/mm] $ |
Hallo tee,
danke für Deinen Tipp mit dem L'Hospital. 
$ [mm] \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!\cdot{}2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}\cdot{}n!}=\bruch{2^{n^{2}}\cdot{}n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}\cdot{}n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1)=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}$
[/mm]
Ich definiere den Bruch dann so:
[mm] $\bruch{u(n)}{v(n)}=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}$
[/mm]
$u'(n)=1$
[mm] $v(n)=2^{2n+1}=e^{(2n+1)(ln2)}$
[/mm]
[mm] $v'(n)=e^{(2n+1)(ln2)}*[(2n+1)*(ln2)]'=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(2n+1)*\bruch{1}{2}]=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(n+0.5)]=2^{2n+1}*(2*ln2+n+0.5)$
[/mm]
Ich habe das Gefühl, dass mein $v'(n)$ nicht ganz "koscher" ist oder ich sehe einfach nicht, wie ich das jetzt sinnvoll verwerten kann.
Wäre nett, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen könnte...
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}[/mm]
> Hallo tee,
>
> danke für Deinen Tipp mit dem L'Hospital.
>
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!\cdot{}2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}\cdot{}n!}=\bruch{2^{n^{2}}\cdot{}n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}\cdot{}n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1)=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
Wo ist [mm]|x|[/mm]?
Wenn du die Potenzreihe als "normale" Reihe auffasst und das QK anwenden willst, so ist [mm]a_n=\frac{n!}{2^{n^2}}\cdot{}x^n[/mm]
>
> Ich definiere den Bruch dann so:
>
> [mm]\bruch{u(n)}{v(n)}=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> [mm]u'(n)=1[/mm]
>
> [mm]v(n)=2^{2n+1}=e^{(2n+1)(ln2)}[/mm]
>
> [mm]v'(n)=e^{(2n+1)(ln2)}*[\underbrace{(2n+1)*(ln2)}_{\red{=2\ln(2)n+\ln(2)}}]'=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(2n+1)*\bruch{1}{2}]=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(n+0.5)]=2^{2n+1}*(2*ln2+n+0.5)[/mm]
>
> Ich habe das Gefühl, dass mein [mm]v'(n)[/mm] nicht ganz "koscher"
Ja, die Konstante fällt weg, also sollte nach dem zweiten "=" in der Klammer nur [mm]2\ln(2)[/mm] steheen
> ist oder ich sehe einfach nicht, wie ich das jetzt sinnvoll
> verwerten kann.
>
> Wäre nett, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen
> könnte...
Büschn viel Aufwand, aber das Teil strebt gegen [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
Also nach QK: [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{2^{2n+1}}=\ldots[/mm]
Und gem. QK hast du Konvergenz wann?
Hier also für welche x?
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n} [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
> > [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!\cdot{}2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}\cdot{}n!}=\bruch{2^{n^{2}}\cdot{}n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}\cdot{}n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1)=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> Wo ist [mm]|x|[/mm]?
ich dachte das x ist unwichtig. Also ich verwende zuerst das Quotientenkriterium und dann Cauchy–Hadamard. In den Musterlösungen zu älteren Aufgaben wurde zumindest das x nicht weiter betrachtet.
> Wenn du die Potenzreihe als "normale" Reihe auffasst und
> das QK anwenden willst, so ist
> [mm]a_n=\frac{n!}{2^{n^2}}\cdot{}x^n[/mm]
>
>
> >
> > Ich definiere den Bruch dann so:
> >
> > [mm]\bruch{u(n)}{v(n)}=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
> >
> > [mm]u'(n)=1[/mm]
> >
> > [mm]v(n)=2^{2n+1}=e^{(2n+1)(ln2)}[/mm]
> >
> >
> [mm]v'(n)=e^{(2n+1)(ln2)}*[\underbrace{(2n+1)*(ln2)}_{\red{=2\ln(2)n+\ln(2)}}]'=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(2n+1)*\bruch{1}{2}]=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(n+0.5)]=2^{2n+1}*(2*ln2+n+0.5)[/mm]
> >
> > Ich habe das Gefühl, dass mein [mm]v'(n)[/mm] nicht ganz "koscher"
>
> Ja, die Konstante fällt weg, also sollte nach dem zweiten
> "=" in der Klammer nur [mm]2\ln(2)[/mm] steheen
Ich versuche das nachzuvollziehen. Das rot markierte ist anscheinend nur die Klammer darüber ausmultipliziert; mir gelingt es leider nicht, das rot markierte so abzuleiten, dass dann nur noch [mm] $2\ln(2)$ [/mm] in der Klammer steht. Wie muss ich da vorgehen?
> > ist oder ich sehe einfach nicht, wie ich das jetzt sinnvoll
> > verwerten kann.
> >
> > Wäre nett, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen
> > könnte...
>
>
> Büschn viel Aufwand, aber das Teil strebt gegen
> [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
>
> Also nach QK:
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{2^{2n+1}}=\ldots[/mm]
>
> Und gem. QK hast du Konvergenz wann?
>
> Hier also für welche x?
Ich muss erst mit dem Oberen klarkommen. Das Ende ist dann denke ich kein Problem mehr.
> Gruß
>
> schachuzipus
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
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Hallo nochmal,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}[/mm]
> Hallo schachuzipus,
>
> > > [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!\cdot{}2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}\cdot{}n!}=\bruch{2^{n^{2}}\cdot{}n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}\cdot{}n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1)=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> >
> > Wo ist [mm]|x|[/mm]?
>
> ich dachte das x ist unwichtig. Also ich verwende zuerst
> das Quotientenkriterium und dann Cauchy–Hadamard. In den
> Musterlösungen zu älteren Aufgaben wurde zumindest das x
> nicht weiter betrachtet.
Naja, es gibt doch für Potenzreihen separate Kriterien.
Etwa das von Cauchy-Hadamard (in Anlehnung an das "normale" WK) oder (in Anlehnung an das QK) berechnet sich der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] einer Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm] als [mm]\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm] - so der Quotient definiert ist.
Du bekommst Konvegenz für [mm]|x-x_0|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x-x_0|>\rho[/mm]
Wie es am Rand, also für [mm]|x-x_0|=\rho[/mm], dh. im Reellen [mm]x=x_0\pm\rho[/mm], aussieht, dazu gibt das Krit. keine Aussage, das müsstest du bei Bedarf separat untersuchen (durch Einsetzen der enstsprechenden x-Werte in die Reihe und anschließenden Konvergenzuntersuchung derselben)
>
> > Wenn du die Potenzreihe als "normale" Reihe auffasst und
> > das QK anwenden willst, so ist
> > [mm]a_n=\frac{n!}{2^{n^2}}\cdot{}x^n[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Ich definiere den Bruch dann so:
> > >
> > > [mm]\bruch{u(n)}{v(n)}=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
> > >
> > > [mm]u'(n)=1[/mm]
> > >
> > > [mm]v(n)=2^{2n+1}=e^{(2n+1)(ln2)}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]v'(n)=e^{(2n+1)(ln2)}*[\underbrace{(2n+1)*(ln2)}_{\red{=2\ln(2)n+\ln(2)}}]'=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(2n+1)*\bruch{1}{2}]=e^{(2n+1)(ln2)}*[2*ln2+(n+0.5)]=2^{2n+1}*(2*ln2+n+0.5)[/mm]
> > >
> > > Ich habe das Gefühl, dass mein [mm]v'(n)[/mm] nicht ganz "koscher"
> >
> > Ja, die Konstante fällt weg, also sollte nach dem zweiten
> > "=" in der Klammer nur [mm]2\ln(2)[/mm] steheen
>
> Ich versuche das nachzuvollziehen. Das rot markierte ist
> anscheinend nur die Klammer darüber ausmultipliziert; ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") mir
> gelingt es leider nicht, das rot markierte so abzuleiten,
> dass dann nur noch [mm]2\ln(2)[/mm] in der Klammer steht. Wie muss
> ich da vorgehen?
Ja, wie?
Es ist in der eckigen Klammer die innere Ableitung zu berechnen, also die von [mm]2\ln(2)\cdot{}n}+\ln(2)[/mm] - und zwar nach [mm]n[/mm]
Das [mm]2\ln(2)[/mm] ist dooch bloß eine multiplikative Konstante, das hintere [mm]\ln(2)[/mm] gar "nur" eine additive Konstante, die bei der Ableitung verschwindet (=0 wird) ...
Wie leitest du denn [mm]a\cdot{}x+b[/mm] nach [mm]x[/mm] ab? für bel. [mm]a,b\in\IR[/mm] ?
>
> > > ist oder ich sehe einfach nicht, wie ich das jetzt sinnvoll
> > > verwerten kann.
> > >
> > > Wäre nett, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen
> > > könnte...
> >
> >
> > Büschn viel Aufwand, aber das Teil strebt gegen
> > [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
> >
> > Also nach QK:
> >
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{2^{2n+1}}=\ldots[/mm]
> >
> > Und gem. QK hast du Konvergenz wann?
> >
> > Hier also für welche x?
>
> Ich muss erst mit dem Oberen klarkommen. Das Ende ist dann
> denke ich kein Problem mehr.
>
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
> Danke Dir!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n} [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für die gute und ausführliche Erklärung, jetzt sind meine Probleme beseitigt. Der Weg von Fred ist zwar um ein Vielfaches einfacher, aber als Übung gehe ich meinen Weg hier noch zu Ende:
$ [mm] \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!\cdot{}2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}\cdot{}n!}=\bruch{2^{n^{2}}\cdot{}n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}\cdot{}n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1)=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}} [/mm] $
Ich definiere den Bruch dann so:
$ [mm] \bruch{u(n)}{v(n)}=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}} [/mm] $
$ u'(n)=1 $
$ [mm] v(n)=2^{2n+1}=e^{(2n+1)(ln2)} [/mm] $
$ [mm] v'(n)=e^{(2n+1)(ln2)}\cdot{}[(2n+1)\cdot{}(ln2)]'=e^{(2n+1)(ln2)}\cdot{}[2\ln(2)n+\ln(2)]'=e^{(2n+1)(ln2)}\cdot{}[2\ln(2)]=2^{2n+1}*2\ln(2)$
[/mm]
Dann Regel von L’Hospital:
$ [mm] \bruch{u'(n)}{v'(n)}=\bruch{1}{2^{2n+1}*2\ln(2)} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Also:
[mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{u'(x)}{v'(x)} [/mm] = 0$
Schließlich:
$ [mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|\right)}=\bruch{1}{0}=\infty$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}[/mm]
> Hallo schachuzipus,
>
> vielen Dank für die gute und ausführliche Erklärung,
> jetzt sind meine Probleme beseitigt. Der Weg von Fred ist
> zwar um ein Vielfaches einfacher, aber als Übung gehe ich
> meinen Weg hier noch zu Ende:
>
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!\cdot{}2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}\cdot{}n!}=\bruch{2^{n^{2}}\cdot{}n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}\cdot{}n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1)=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> Ich definiere den Bruch dann so:
>
> [mm]\bruch{u(n)}{v(n)}=\bruch{(n+1)}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> [mm]u'(n)=1[/mm]
>
> [mm]v(n)=2^{2n+1}=e^{(2n+1)(ln2)}[/mm]
>
> [mm]v'(n)=e^{(2n+1)(ln2)}\cdot{}[(2n+1)\cdot{}(ln2)]'=e^{(2n+1)(ln2)}\cdot{}[2\ln(2)n+\ln(2)]'=e^{(2n+1)(ln2)}\cdot{}[2\ln(2)]=2^{2n+1}*2\ln(2)[/mm]
>
> Dann Regel von L’Hospital:
>
> [mm]\bruch{u'(n)}{v'(n)}=\bruch{1}{2^{2n+1}*2\ln(2)} \to 0[/mm] für
> [mm]n \to \infty[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{u'(x)}{v'(x)} = 0[/mm]
>
> Schließlich:
>
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|\right)}=\bruch{1}{0}=\infty[/mm]
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^{2}}}x^{n}[/mm]
> Hallo tee,
>
> ich hab das jetzt verbessert, hänge aber leider wieder
> Richtung Ende:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{(n+1)!*2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^2}*n!}=\bruch{2^{n^{2}}*n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}*n!}=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(n+1)[/mm]
>
>
> Wäre super, wenn Du mir einen kleinen Tipp geben
> könntest, wie man da weiterrechnet.
Hallo Halbgrieche,
überlege Dir, dass gilt $n+1 [mm] \le 2^n$ [/mm] (mit Induktion ist das leicht zu sehen).
Dann bekommst Du:
[mm]0 \le \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(n+1) \le \bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
Jetzt n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
>
> Ich danke Dir!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mi 26.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
> Hallo Halbgrieche,
>
> überlege Dir, dass gilt [mm]n+1 \le 2^n[/mm] (mit Induktion ist
> das leicht zu sehen).
>
> Dann bekommst Du:
>
> [mm]0 \le \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(n+1) \le \bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
bis hier ist es mir klar.
> Jetzt n [mm]\to \infty[/mm]
Für den Bruch [mm] $\bruch{1}{2^{n+1}}$ [/mm] gilt [mm] $\bruch{1}{\infty} \to [/mm] 0,$ also auch für [mm] $\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1) \to [/mm] 0,$ da $0 [mm] \le \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1) \le [/mm] 0$
Dann:
[mm] $r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|\right)}=\bruch{1}{0}=\infty.$
[/mm]
Hoffe, ich habe es nicht vermasselt.
> FRED
Merci beaucoup!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Hallo Halbgrieche,
> >
> > überlege Dir, dass gilt [mm]n+1 \le 2^n[/mm] (mit Induktion ist
> > das leicht zu sehen).
> >
> > Dann bekommst Du:
> >
> > [mm]0 \le \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(n+1) \le \bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
>
> bis hier ist es mir klar.
>
> > Jetzt n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Für den Bruch [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] gilt [mm]\bruch{1}{\infty} \to 0,[/mm]
> also auch für [mm]\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1) \to 0,[/mm] da
> [mm]0 \le \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2^{2n+1}}\cdot{}(n+1) \le 0[/mm]
So kannst Du das nicht schreiben !
Aus obiger Abschätzung folgt: [mm] \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \to [/mm] 0
>
> Dann:
>
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|\right)}=\bruch{1}{0}=\infty.[/mm]
>
> Hoffe, ich habe es nicht vermasselt.
Es hält sich in Grenzen.
FRED
>
> > FRED
>
> Merci beaucoup!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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