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| Aufgabe | | Bestimmen sie die Koeffizienten der Reihe f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_ix^i [/mm] und deren Konvergenzradius R, so dass innerhalb des Konvergenzkreises [mm] B_0(R) [/mm] gilt: [mm] f(x)(x^2+x+1) [/mm] = 1 |
Ich gehe gerade diese Aufgabe zum Üben durch, in der Musterlösung steht folgendes
Versuch [mm] a_i [/mm] zu bestimmen, so dass [mm] (\summe_{i=0}^{\infty} a_ix^i)(x^2+x+1) [/mm] = 1:
[mm] X^0 [/mm] : [mm] a_0 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow a_0 [/mm] = 1
[mm] X^1 [/mm] : [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_1 [/mm] = -1
[mm] X^2 [/mm] : [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_2 [/mm] = 0
[mm] X^3 [/mm] : [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_3 [/mm] = 1
[mm] X^4 [/mm] : [mm] a_4 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_4 [/mm] = -1
[mm] \vdots
[/mm]
Also die Folgerungen [mm] '\Rightarrow' [/mm] sind mir klar, aber wie kommen ich an die Vorraussetzung, z.b. dass [mm] X^2 [/mm] : [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0 gilt? und was soll dieses [mm] X^2 [/mm] etc. darstellen? sagt es mir noch was ausser das i = 2 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Multipliziere das
$ [mm] (\summe_{i=0}^{\infty} a_ix^i)(x^2+x+1) [/mm] $ = 1
mal aus. Dann erhälst Du (rechne es nach !)
$ 1 = [mm] a_0 [/mm] + [mm] (a_0+a_1)x+ (a_0+a_1+a_2)x^2+ (a_1+a_2+a_3)x^3 [/mm] + ......$
$= [mm] a_0 [/mm] + [mm] (a_0+a_1)x [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{\infty}(a_{i-2}+a_{i-1}+a_i)x^i$
[/mm]
Mit dem Identitätssatz für Potenzreihen (Koeff. -.Vergleich) erhälst Du Deine Formeln.
FRED
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Ok, schonmal vielen Dank für die Antwort,
habe das ganze mal ausmultioplizert und man kann tatsächlich immer vor 3 [mm] x^i [/mm] den gleichen Vorfaktor ausklammern. Wie du auf die Summen schreibweise dann kommst ist auch klar.
Jetzt habe ich in meinem Skript nach "Identitätssatz für Potenzreihen" gesucht aber nichts gefunden. Im Harro Heuser - Lehrbuch der Analysis I" bin ich dann aber fündig geworden.
Leider seh ich noch nicht so wirklich wie ich den anwenden soll,
Also nach Harro Heuser (seite 372)
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f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] (x - [mm] x_0)^n [/mm] , g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] (x - [mm] x_0)^n
[/mm]
Wenn f und g auf nur irgendeiner Folge [mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2...) [/mm] übereinstimmen und deren Glieder [mm] \not= x_0, [/mm] aber [mm] \to x_0
[/mm]
so sind beide Funktionen und beide Reihen vollständig identisch.
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und nu? ich hab doch nur eine Reihe und eine Funktion, oder?
Also mit deiner Umformung würde ich jetzt sagen. Vor jedem [mm] x^i [/mm] muss als Vorfaktor eine 0 stehen. Andernfalls wäre die Summe niemals = 1 = 1 + 0x [mm] +0x^2... [/mm] usw.
Also [mm] a_0 [/mm] = 1, und dann so wie in den Formeln oben fortfahren.
aber vielleicht kannst du trotzdem nochmal erklären was man da jetzt mit dem Identitätssatz für Potenzreihen machen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 22.01.2009 | | Autor: | taura |
Hallo NightmareVirus!
Wenn du den Satz anwenden willst, dann ist die eine Reihe dein ausmultipliziertes Produkt und die andere "Reihe" ist [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ [/mm] mit [mm] $a_0=1$ [/mm] und [mm] $a_n=0$ [/mm] für alle $n<0$, also im Prinzip die 1 als Reihe dargestellt. Die sollen ja jetzt gleich sein, also machst du einen Koeffizientenvergleich.
Die Schreibweise in deiner Musterlösung bedeutet: Vergleiche die Koeffizienten vor der i-ten Potenz von x, also bei [mm] $x^0$ [/mm] hat die 1-Reihe Koeffizient 1, daher muss auch der Koeffizient deines Produkts 1 sein, bei [mm] $x^1$ [/mm] hat die 1-Reihe Koeffizient 0, also muss auch der Koeffizient des Produkts 0 sein, usw.
Ich hoffe das hilft!
Grüße taura
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