Konvergenzradius/ Konv. am R. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige den Konvergenzradius, und achte auf Konvergenz am Rand.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(2x-3)^{n}}{n5^{n}} [/mm] |
Hi,
ich komme bei. og. Aufgabe einfach nicht weiter. Das ganze sind Übungsaufgaben im Rahmen einer Klausurvorbereitung, aber ich sehe hie nicht mal den Anfang...
Wenn ihr mir beim Ansatz helfen könntet und vllt. nen kurzen leitfaden geben könntet, wie ich hier vorgehen soll und ich das etwas nachvollziehen kann, wäre mir echt geholfen.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige den Konvergenzradius, und achte auf Konvergenz am
> Rand.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(2x-3)^{n}}{n5^{n}}[/mm]
> Hi,
> ich komme bei. og. Aufgabe einfach nicht weiter. Das ganze
> sind Übungsaufgaben im Rahmen einer Klausurvorbereitung,
> aber ich sehe hie nicht mal den Anfang...
>
> Wenn ihr mir beim Ansatz helfen könntet und vllt. nen
> kurzen leitfaden geben könntet, wie ich hier vorgehen soll
> und ich das etwas nachvollziehen kann, wäre mir echt
> geholfen.
Es hilft vielleicht, wenn du erst einmal $y=2x-3$ setzt und damit die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^{n}}{n\,5^{n}}[/mm]
betrachtest. Hinterher kannst du dein Ergebnis leicht auf x umrechnen.
Ansonsten kannst du immer das Kriterium von Cauchy-Hadamard benutzen; den Rand musst du anschließend getrennt betrachten.
Viele Grüße
Rainer
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Ich hab da mal ne Rückfrage, was ist das für ein Kriterium (Cauchy-Hadamard?). Habe mir das eben mal auf Wiki angeschaut und komme da überhpt nicht mit. Könntest du mir da evtl. mal ein Beispiel dazubringen, wie ich das anwende an dieser Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 So 22.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^{n}}{n\,5^{n}} [/mm] $
Also eine Reihe der Form
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_ny^n [/mm] $ mit [mm] a_n=\bruch{1}{n\,5^{n}}
[/mm]
Dann ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}=1/5$
[/mm]
Obige Reihe konvergierz also für |y|<5
FRED
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Vielen Dank.
Jetzt muss ich allerdings fragen, was mir das dann genau bringt?
Bzw. die Summe geht ja gegen unendlich, wie muss ich dass dann machen oder reicht das vorige Ergebnis?
Bzw. mit welchem Wert muss ich denn auf Konvergenz am Rand untersuchen?
Also man muss dazusagen, die Aufgabe ist Uni-Niveau, aber ich würde sie halt echt gerne verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank.
> Jetzt muss ich allerdings fragen, was mir das dann genau
> bringt?
> Bzw. die Summe geht ja gegen unendlich, wie muss ich dass
> dann machen oder reicht das vorige Ergebnis?
(Nebenbei: die Summe die du hingeschrieben hast, geht bei n=0 los. Das kann nicht sein, denn dann müsstest du beim ersten Glied durch 0 eilen.)
Das Konvergenzkriterium sagt, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^\infty\bruch{y^n}{n\,5^n} [/mm]
den Konvergenzradius 5 hat, das heisst sie konvergiert für $|y|<5$ und divergiert für $|y|>5$. Nur für $|y|=5$ macht es keine Aussage.
> Bzw. mit welchem Wert muss ich denn auf Konvergenz am Rand
> untersuchen?
Für $|y|=5$ gibt es die zwei Möglichkeiten
a) $y=+5$. Eingesetzt in die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^\infty\bruch{5^n}{n\,5^n} = \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n}[/mm] .
dies ist die harmonische Reihe, die divergiert.
b) $y=-5$ einsetzen ergibt
[mm] \summe_{n=1}^\infty\bruch{(-5)^n}{n\,5^n} = \summe_{n=1}^\infty \bruch{(-1)^n}{n} = -\ln 2[/mm] .
Das ist die alternierende harmonische Reihe.
Insgesamt konvergiert die Reihe also für [mm] $-5\le [/mm] y<5$ und divergiert für alle anderen Werte von y.
Jetzt musst du nur noch auf x zurückrechnen: $y=2x-3$, also konvergiert die Reihe für
[mm] -5 \le 2x-3 <5 \gdw -1 \le x <4 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Also soweit ist das ganze schon klarer, danke euch.
Aber eine Frage habe ich doch noch, wie kommst du bei der Substitution auf
-5 [mm] \le [/mm] 2x-3 <5 [mm] \gdw [/mm] -1 [mm] \le [/mm] x <4
also ich hätte die -5 z.b. eingesetzt (2*-5)-3, womit ich auch -13 komme aber ich glaube ich steh da gerade total aufem Schlauch..
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 So 22.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Forme doch mal $-5 \ [mm] \le [/mm] \ 2x-3$ bzw. $2x-3 \ < \ +5$ jeweils nach $x_$ um.
Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:35 Mo 23.05.2011 | | Autor: | TheUnnamed |
Merci.
Naja nie wieder 8h Mathe am Stück, man sieht danach echt nur noch 0 ;).
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