Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] a_n [/mm] eine reelle oder komplexe Zahlenfolge. Wir untersuchen die hierdurch bestimmte Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n
[/mm]
Beweise: Falls [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt und die Folge [mm] (\vmat{ a_n \\ a_{n+1} }) [/mm] in [mm] \IR [/mm] (mit +/- unendlich) einen Grenzwert besitzt, so ist dieser der Konvergenzradius obiger Potenzreihe. |
Hallo,
Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Ich muss mit dem Quotientenkriterium argumentieren denke ich, mir fehl aber der Ansatz und vor allem wie ich beweise, dass das der Konvergenzradius ist.
Vielen Dank
LG Lakritzstange
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht doch wohl [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
Der Tip ist: Konvergenz der geometrischen Reihe!
Gruss leduart
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Ja sorry das stimmt. Habe den Bruchstrich vergessen.
Danke schonmal für den Tipp.
Wie soll ich denn das jetzt beweisen? Ich muss ja jetzt zeigen, dass /x/<1 oder und somit die Reihe einen Grenzwert besitzt oder? Aber wie zeige ich , dass das der Konvergenzradius ist?
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Huhu,
was weisst du denn über Konvergenzkriterien von Reihen?
Also wann konvergiert denn bspw. die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}b_k$ [/mm] nach Quotientenkriterium?
Nun wende das Quotientenkriterium mal auf deine Potenzreihe an und stelle nach x um.....
MFG,
Gono.
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Ich weiß ja über das Quotientenkriterium dass [mm] (a_{n+1}/a_{n}) [/mm] kleiner als 1 sein muss, damit die Reihe konvergiert.
Aber hier ist die Folge ja anders rum definiert. Das verstehe ich schon mal nicht.
Kannst du mir das erklären?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] $=r
So, nun lassen wir das Quotientenkriterium auf die Potenzreihe los: für x [mm] \ne [/mm] 0
[mm] $q_n(x):= |\bruch{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^n}| [/mm] = [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|*|x|$
[/mm]
Fall 1:
r= [mm] \infty. [/mm] dann strebt [mm] (q_n(x)) [/mm] gegen 0, also ist die Potenzreihe in diesem x konvergent. x war beliebig, sommit konvergiert die Potenzreihe in jedem x, hat also Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] = r
Fall 2:
r=0; dann strebt [mm] (q_n(x)) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] > 1. Die Potenzreihe konvergiert also in keinem x [mm] \ne [/mm] 0, hat also Konvergenzradius 0 =r
Fall 3: 0<r < [mm] \infty. [/mm] Diesen Fall machst Du jetzt mal selbst.
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Vielen Dank schonmal dür deine Hilfe.
Also im 3. Fall strebt [mm] q_n [/mm] (x) ja gegen [mm] /a_n/a_{n+1}/ [/mm] oder? dann ist das auch der Konvergenzradius der Potenreihe.
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Hallo,
> Vielen Dank schonmal dür deine Hilfe.
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> Also im 3. Fall strebt [mm]q_n[/mm] (x) ja gegen [mm]/a_n/a_{n+1}/[/mm] oder?
Nein, wie kann das sein??
Mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r[/mm] ist doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q(x)=r\cdot{}|x|[/mm] ...
Außerdem: Wieso benutzt du den Formeleditor nicht?
So ist das eine Zumutung zu lesen ...
Betragstriche mache mit "AltGr + <-Taste"
Brüche mit \bruch{a}{b}, das gibt [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
> dann ist das auch der Konvergenzradius der Potenreihe.
Letzteres stimmt, der Konvergenzradius ist dann [mm]\frac{1}{r}[/mm]
Kannst du das noch kurz begründen?
LG
schachuzipua
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Vielen Dank schonmal dür deine Hilfe.
> >
> > Also im 3. Fall strebt [mm]q_n[/mm] (x) ja gegen [mm]/a_n/a_{n+1}/[/mm] oder?
>
> Nein, wie kann das sein??
>
> Mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r[/mm]
> ist doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q(x)=r\cdot{}|x|[/mm] ...
Hallo schachuzipus,
so stimmt das nicht ! Es war $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] $=r
Damit konvergiert [mm] (q_n(x)) [/mm] gegen [mm] \bruch{|x|}{r}
[/mm]
Ist dies <1, also |x|<r, so hat man Konvergenz, .... etc ...
>
>
> Außerdem: Wieso benutzt du den Formeleditor nicht?
>
> So ist das eine Zumutung zu lesen ...
>
> Betragstriche mache mit "AltGr + <-Taste"
>
> Brüche mit [mm][code]\bruch{a}{b}[/code],[/mm] das gibt
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
>
> > dann ist das auch der Konvergenzradius der Potenreihe.
>
> Letzteres stimmt, der Konvergenzradius ist dann
> [mm]\frac{1}{r}[/mm]
>
> Kannst du das noch kurz begründen?
>
>
> LG
>
> schachuzipua
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Danke für den Hinweis mit dem Formeleditor. Normalerweise benutze ich den auch, nur wusste ich nicht wie Betrag und geteilt durch geht sorry.
Also strebt [mm] q_n [/mm] (x) gegen [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] und damit ist dann der Konvergenzradius $ [mm] \frac{1}{r} [/mm] $ weil das der Kehrwert ist von $ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Hinweis mit dem Formeleditor. Normalerweise
> benutze ich den auch, nur wusste ich nicht wie Betrag und
> geteilt durch geht sorry.
>
> Also strebt [mm]q_n[/mm] (x) gegen [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] und damit
> ist dann der Konvergenzradius [mm]\frac{1}{r}[/mm] weil das der
> Kehrwert ist von
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r[/mm]
Nein, schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=728747
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