www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius allg. Beweis
Konvergenzradius allg. Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius allg. Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 So 04.12.2011
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
Sei  [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_{n} z^{n} [/mm] eine Potenzreihe, in der fast alle Koeffizienten von Null verschieden sind. Ferner existiere r' :=  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] (|a_{n}|) \over (|a_{n+1}|) [/mm] ). Zeige, dass die Potenzreihe für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| < r' konvergiert und für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| > r' divergiert.

huhu zusammen,

Hier geht es ja um das Thema konvergenzradius, wobei die Formel sogar angegeben ist (r') und halt eine allgmein gehaltene Potenzreihe. Wir hatten das mit dem |z| < oder > als r' und dass es dann konvergiert/divergiert einfach hingenommen und das hier ist dann wohl die Aufgabe, es zu beweisen, dass es so ist, allerdings fehlt mir hier jeglicher Ansatz wie ich es zeigen könnte ;/ . kann mir jemand einen Denkanstoß geben?^^

        
Bezug
Konvergenzradius allg. Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 So 04.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Sei  [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{n} z^{n}[/mm] eine Potenzreihe,
> in der fast alle Koeffizienten von Null verschieden sind.
> Ferner existiere r' :=  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm](|a_{n}|) \over (|a_{n+1}|)[/mm] ). Zeige, dass die Potenzreihe
> für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| < r' konvergiert und für alle
> z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| > r' divergiert.



Obige Potenzreihe ist für alle [mm]z\in\IC[/mm] divergent, du addierst unendlich viele konstante Glieder ...

Die hängen doch alle nicht vom Laufindex i ab!

Wahrscheinlich meinst du aber [mm]\sum\limits_{\red{n}=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]

>  huhu zusammen,
>  
> Hier geht es ja um das Thema konvergenzradius, wobei die
> Formel sogar angegeben ist (r') und halt eine allgmein
> gehaltene Potenzreihe. Wir hatten das mit dem |z| < oder >
> als r' und dass es dann konvergiert/divergiert einfach
> hingenommen und das hier ist dann wohl die Aufgabe, es zu
> beweisen, dass es so ist, allerdings fehlt mir hier
> jeglicher Ansatz wie ich es zeigen könnte ;/ . kann mir
> jemand einen Denkanstoß geben?^^

Fasse die Reihe als "normale" Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] auf mit [mm]b_n=a_nz^n[/mm] und lasse das Quotientenkriterium darauf los ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius allg. Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 04.12.2011
Autor: EvelynSnowley2311

huhu,
jop sry für das i statt n.

Also das normal quotientenkriterium sehe ja dann so aus :
erstmal definiere ich die Reihe als normale reihe bn und dann mach ich folgendes:


[mm] |b_{n+1}| \over |b_{n}| [/mm]  sprich: [mm] (|a_{n+1} \* z^{n+1}|) \over (|a_{n} \* z^{n}|) [/mm] wäre ja gekürzt

[mm] (|a_{n+1} \* z|)\over (|a_{n}|) [/mm]    da kann man das |z| ja glaube ich davor ziehen, sodass |z|    [mm] (|a_{n+1}|) \over (|a_{n}|) [/mm] da steht, also |z| mal dem normalen quotientenkriterium. Mit dem hier und dem Wissen das r' der Kehrwert des Q-Kriteriums ist, wie kann ich weiter vorgehen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius allg. Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 So 04.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> huhu,
>  jop sry für das i statt n.
>  
> Also das normal quotientenkriterium sehe ja dann so aus :
>  erstmal definiere ich die Reihe als normale reihe bn und
> dann mach ich folgendes:
>  
>
> [mm]|b_{n+1}| \over |b_{n}|[/mm]  sprich: [mm](|a_{n+1} \* z^{n+1}|) \over (|a_{n} \* z^{n}|)[/mm]
> wäre ja gekürzt
>  
> [mm](|a_{n+1} \* z|)\over (|a_{n}|)[/mm]    da kann man das |z| ja
> glaube ich davor ziehen, sodass |z|    [mm](|a_{n+1}|) \over (|a_{n}|)[/mm]  [ok]
> da steht, also |z| mal dem normalen quotientenkriterium.
> Mit dem hier und dem Wissen das r' der Kehrwert des
> Q-Kriteriums ist, wie kann ich weiter vorgehen?

Du betrachtest ja im QK den Limes davon, also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z|\cdot{}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]

Und (absolute) Konvergenz gibt es gem. QK, falls dieser Limes [mm]q[/mm] mit [mm]q<1[/mm] ist (und Divergenz für [mm]q>1[/mm])

Also [mm][/mm][mm]|z|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\overset{!}{<}1[/mm]

Folglich (absol.) Konvergenz für  [mm]|z|<\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=r'[/mm] und Divergenz für ">"

Gruß

schachuzipus







Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius allg. Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 So 04.12.2011
Autor: EvelynSnowley2311

ahhh^^ ich verstehe es ;) Danke für die gute Erklärung schachuzipus!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de