Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 19.11.2009 | | Autor: | darkrain |
Hallo an alle,
also ich muss den konvergenzradius ausrechnen für diese :
a.) [mm] \summe_{n \ge 0}^{} \alpha^n x^n [/mm] ( [mm] \alpha \in \IR [/mm] )
b.) [mm] \summe_{n \ge 0}^{}n^k x^n [/mm] (k [mm] \in \IN)
[/mm]
c.) [mm] \summe_{n \ge 0}^{}\beta ^\wurzel{n} x^n [/mm] ( [mm] \beta [/mm] > 0)
für a.) habe ich schon etwas ausgerechnet und komme auf
r = [mm] \bruch{1}{\alpha}
[/mm]
ich frag mich nur, b das richtig ist und ob das nun der konvergenzradius ist was ich da raus habe. (sollte da kein wert oder unendlich rauskommen ?)
bei b.) komme ich ab einer stelle nicht mehr weiter und zwar :
r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k} [/mm] = ... ?
kann ich das irgendwie noch vereinfachen ?
zu c) habe ich gar keine ahnung :(
wäre schön, wenn man mir beim lösen helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das habe ich gestern einem Kollegen von Dir geschrieben:
"Es sei
$ [mm] \summe_{n \ge 0} a_nx^{n} [/mm] $
eine Potenzreihe. Dann berechnest Du
$ p:=lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] $
Ist p = $ [mm] \infty, [/mm] $ so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = 0.
Ist p = 0, so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = $ [mm] \infty. [/mm] $
Ist 0 < p < $ [mm] \infty, [/mm] $ so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = 1/p"
https://matheraum.de/read?t=618159
> Hallo an alle,
> also ich muss den konvergenzradius ausrechnen für diese
> :
>
> a.) [mm]\summe_{n \ge 0}^{} \alpha^n x^n[/mm] ( [mm]\alpha \in \IR[/mm] )
> b.) [mm]\summe_{n \ge 0}^{}n^k x^n[/mm] (k [mm]\in \IN)[/mm]
> c.)
> [mm]\summe_{n \ge 0}^{}\beta ^\wurzel{n} x^n[/mm] ( [mm]\beta[/mm] > 0)
>
> für a.) habe ich schon etwas ausgerechnet und komme auf
> r = [mm]\bruch{1}{\alpha}[/mm]
das ist nicht ganz richtig. Mit meinen obigen Ausführungen siehst Du:
Ist [mm] \alpha \not= [/mm] 0, so ist der Konvergenzradius = [mm]\bruch{1}{|\alpha|}[/mm]
Ist [mm] \alpha [/mm] = 0, so ist der Konvergenzradius = [mm] \infty
[/mm]
> ich frag mich nur, b das richtig ist und ob das nun der
> konvergenzradius ist was ich da raus habe. (sollte da kein
> wert oder unendlich rauskommen ?)
>
> bei b.) komme ich ab einer stelle nicht mehr weiter und
> zwar :
> r= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k}[/mm] = ...
Mit dieser Formel geht es auch
r= $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^k= [/mm] .. ? ... $
Zum üben: berechne den Konvergenradius auch mal über lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
> ?
> kann ich das irgendwie noch vereinfachen ?
>
> zu c) habe ich gar keine ahnung :(
Hier ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \beta^{\wurzel{n}}
[/mm]
Probiers mal mit lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
FRED
>
> wäre schön, wenn man mir beim lösen helfen könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 19.11.2009 | | Autor: | darkrain |
also,
b.)
r= $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^k= 1^k [/mm] = 1.
ist 1 nun der Konvergenzradius ?
Mit dieser Formel geht es auch
r= $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^k= [/mm] .. ? ... $
zu c)
[mm] a_n [/mm] = [mm] \beta^{\wurzel{n}}
[/mm]
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
lim sup [mm] \wurzel[n]{|\beta^{\wurzel{n}}|} [/mm]
ich bräucht nun hilfe, wie ich das vereinfachen und ausrechnen kann. Wahrscheinlich wird da 1 raus kommen, aber ich wüsste nicht wie ich drauf kommen kann.
Kann mir da jemand helfen, wie man nun das mit der Wurzel am besten macht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> also,
> b.)
> r= $ [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^k= 1^k[/mm]
> = 1.
>
> ist 1 nun der Konvergenzradius ?
Ja
>
> Mit dieser Formel geht es auch
>
> r= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{(n+1)^k}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^k= .. ? ...[/mm]
>
>
> zu c)
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\beta^{\wurzel{n}}[/mm]
>
> lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
>
> lim sup [mm]\wurzel[n]{|\beta^{\wurzel{n}}|} [/mm]
>
> ich bräucht nun hilfe, wie ich das vereinfachen und
> ausrechnen kann. Wahrscheinlich wird da 1 raus kommen, aber
> ich wüsste nicht wie ich drauf kommen kann.
>
> Kann mir da jemand helfen, wie man nun das mit der Wurzel
> am besten macht ?
[mm] \wurzel[n]{|\beta^{\wurzel{n}}|}= \beta^{1/\wurzel{n}}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 19.11.2009 | | Autor: | darkrain |
nein leider nicht, ich habe versucht das weiter zu vereinfachen, aber ne.... es leuchtet mich nicht ein, sorry :-((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Was treibt denn die Folge [mm] (1/\wurzel{n}) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Do 19.11.2009 | | Autor: | darkrain |
aaaaah okay, jetzt machts klick 
also [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{n}} [/mm] gegen unendlich läuft gegen 0,
also habe ich da stehen :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \beta [/mm] ^0 = 1.
also ist der Konvergenzradius 1.
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Do 19.11.2009 | | Autor: | darkrain |
super vielen dank!
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