Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zum Thema Konvergenzradius und dessen Bestimmung. Da mir das Forum immer sehr weiter geholfen hat, habe ich nun beschlossen mich anzumelden und auch mal eine Frage, die mir das Internet nicht ganz genau beantworten konnte zu stellen!
Nun wie gesagt geht es um den Konvergenzradius von Potenzreihen. Wie man den berechnet habe ich eigentlich verstanden jedoch kommen nun ein paar Unklarheiten auf.
Sagen wir nun ich habe eine Potenzreihe der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^n
[/mm]
dann reicht es ja, wenn ich mir mit dem Wurzelkriterium das [mm] a_n [/mm] angucke und gucke wo gegen es konvergiert. Der Kehrwert des Limes ist dann der Konvergenzradius.
Hier auch schon meine erste Frage: was ist wenn bei dem Wurzel- oder Quotientenkriterium 1 rauskommt? Bei "normalen" Folgen konnt eman dann doch keine aussage treffen (falls ich mich nicht irre) ist das hier egal undder Konvergenzradius ist auch einfach =1?
und wie ist das wenn ich Potenzfunktionen der Form z.B. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^{2n} [/mm] oder [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^{n!} [/mm] habe? reicht es danna uch aus nur das [mm] a_n [/mm] zu betrachten? Ich übe gerade ein bisschen und irgendwie beiße ich bei diesen Funktonen auf Granit...Mal funktioniert es irgendwie und mal nicht.
Könnte mir das vielleicht jemand anhand eines Beispiels erklären?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*z^{2n} [/mm]
mit dem Quotientenkriterium komme ich auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+1/n}{2+3/n}\to [/mm] 1
hier scheint das normale Verfahren gut zu funktionieren aber bei
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{3^n}*z^{n!} [/mm] komme ich mit dem Wurzelkriterium auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{3^n}}\to \bruch{1}{3}
[/mm]
aber das ganze solleigentlich gegen 1 gehen... :o(
Für eure Antworten bin ich sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 So 19.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hallo und herzlich willkommen hier! :)
Ja, also wenn 1 rauskommt, ist der Konvergenzradius einfach 1. Dann konvergiert die Reihe für |x|<1 auf alle Fälle und für x=1 oder x=-1 kann die Reihe auch konvergieren, muss aber nicht.
Nimm z.B. mal [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}*x^n. [/mm] Da liefern dir die Kriterien auf alle Fälle Konvergenz, wenn |x|<1 gilt. Guckt man sich mal x=1 an, so divergiert die Reihe (harmonische Reihe!), aber für x=-1 konvergiert sie (alternierende harmonische Reihe).
Zur anderen Frage: Wenn du nicht mehr [mm] x^n [/mm] da zu stehen hast, sondern z.B. [mm] x^{n!}, [/mm] so kannst du nicht mehr einfach nur [mm] a_n [/mm] betrachten. Ich wende da immer einfach das reine Quotienten- oder Wurzelkriterium an, das bei Reihen mit [mm] x^n [/mm] genau so klappt.
Bei dem Beispiel meiner Reihe von oben: Die Reihe konvergiert, wenn gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}}{\bruch{1}{n}*x^n}|<1 [/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}|x|<1 [/mm]
[mm] \gdw |x|<\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n}=1
[/mm]
(Wurzelkriterium hätte es auch getan).
Und ganz genau so kannst du eigentlich immer vorgehen, auch wenn nun n!, 2n oder sonst was im Exponent steht. Das ist schön allgemein und du musst nur Altbekanntes anwenden und etwas umstellen.
Du kannst ja vielleicht mal versuche deine Beispielaufgaben damit zu bearbeiten und die Ergebnisse bei Fragen hier reinzustellen!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 So 19.09.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Vielen dank für die schnelle Antwort!
Habe nun versucht das ganze auf meine Beispiele anzuwenden und hoffe ich habe es so richtig gemacht.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*x^{2n}
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(2n+1)*x^(2(n+1))}{(2(n+1)+1)*x^(2n)}|=|\bruch{(2n+1)*x^(2n)*x^2}{(2(n+1)+1)*x^(2n)}|=|\bruch{(2n+1)*x^2}{2n+3}|=|\bruch{(2n+1)}{(2n+3}|*|x^2|--> |x|=\wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+3/n}{2+1/n}} \gdw |x|=\wurzel{1}=1
[/mm]
jedoch habe ich es auch mit dem Wurzelkriterium versucht, aber ich glaube da muss man dann ab einer Stelle abschätzen.
bei
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*x^{2n} [/mm] habe ich aber immernoch Probleme. Ich bekomme es sowohl mit Wurzel- als auch Quotientenkriterium nicht gelöst.
Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{x^(n!)}{3^n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{|1|}}{\wurzel[n]{|3^n|}}*|x^{n!}|--> \bruch{1}{3}*|x^{(n-1)!}| [/mm] ??? hier hänge ich
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{3^n*x^((n+1)!)}{3^(n+1)*x^(n!)}|= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3}*|x^{n+1}| [/mm] ???
Irgendetwas gravierendes mache ich falsch....
Wäre es eventuell sinvoll beim Wurzelkriterium dann die n!-ste Wurzel zu ziehen?
Liebste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 So 19.09.2010 | | Autor: | Teufel |
> Vielen dank für die schnelle Antwort!
>
> Habe nun versucht das ganze auf meine Beispiele anzuwenden
> und hoffe ich habe es so richtig gemacht.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*x^{2n}[/mm]
> Mit dem
> Quotientenkriterium:
> [mm][mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(2n+1)*x^(2(n+1))}{(2(n+1)+1)*x^(2n)}|=|\bruch{(2n+1)*x^(2n)*x^2}{(2(n+1)+1)*x^(2n)}|=|\bruch{(2n+1)*x^2}{2n+3}|=|\bruch{(2n+1)}{(2n+3}|*|x^2|
[/mm]
Dieser Ausdruck muss <1 sein, damit die Reihe konvergiert.
Damit folgt dann also insgesamt |x|<1. Das < ist hier wichtig, da die Reihe ja für alle |x|<1 konvergiert und nicht nur für x=1 (wenn die Reihe für x=1 überhaupt konvergiert, was sie aber nicht tut!).
>
> jedoch habe ich es auch mit dem Wurzelkriterium versucht,
> aber ich glaube da muss man dann ab einer Stelle
> abschätzen.
>
Ja, das Wurzelkriterium ist hier etwas schwieriger. Aber ist ja auch egal, wenn das Quotientenkriterium hier klappt. :)
> bei
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*x^{2n}[/mm] habe ich aber
> immernoch Probleme. Ich bekomme es sowohl mit Wurzel- als
> auch Quotientenkriterium nicht gelöst.
>
> Wurzelkriterium:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{x^(n!)}{3^n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{|1|}}{\wurzel[n]{|3^n|}}*|x^{n!}|--> \bruch{1}{3}*|x^{(n-1)!}|[/mm]
> ??? hier hänge ich
>
> Quotientenkriterium:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{3^n*x^((n+1)!)}{3^(n+1)*x^(n!)}|= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3}*|x^{n+1}|[/mm]
> ???
>
> Irgendetwas gravierendes mache ich falsch....
> Wäre es eventuell sinvoll beim Wurzelkriterium dann die
> n!-ste Wurzel zu ziehen?
> Liebste Grüße
Hier bietet sich das Wurzelkriterium an. Es läuft hier nur ein kleines bisschen anders, weil du immer einen Ausdruck mit n noch im Exponenten hast, aber das ist hier kein Problem.
Wurzelkriterium: Die Reihe konvergiert, wenn gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|\bruch{1}{3^n}*x^{n!}}<1 [/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}*|x|^{(n-1)!}<1, [/mm] wie du schon richtig sagtest. So, nun mach mal eine Fallunterscheidung bei diesem Grenzwert für |x|<1, |x|=1, |x|>1.
Immer wieder gerne. :)
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 19.09.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Guten Morgen,
Ich habe mir gerade nochmal alles durchgelesen und ich denke ich bin dem ganzen schon viel näher als zuvor. Trotzdem möchte ich es wirklich komplett verstanden haben.
Also habe ich da snunr ichtig verstanden? Ich wende einfach auf die komplette Potenzreihe das Quotienten- oder Wurzelkriterium an und gucke dann, dass der ausdruck <1 wird. <1 deswegen, weil wir wissen, dass eine Reihe dann konvergiert?!? diese Ungleichung stelle ich dann nach |x| um, damit ich weiss für welche |x| die reihe konvergiert?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*x^{2n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(2n+1)*x^2}{2n+3}|<1\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(2n+1)}{(2n+3)}|*|x^2|<1\gdw |x^2|<1 \gdw |x|<\wurzel{1}\gdw [/mm] |x|<1
Ist wa ao jetzt richtig? Jetzt habe ich ja schon sofort den Konvergenzradius. Aber bei anderen Aufgaben müsste man doch eigentlich noch den Rand untersuchen... Ich glaube so ganz schlüssig ist mir das doch noch nicht alles.
so und nun zu dem anderen Beispiel:
Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{x^(n!)}{3^n}|}<1 \gdw\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{|1|}}{\wurzel[n]{|3^n|}}*|x^{n!}|<1\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}*|x|^{(n-1)!}
[/mm]
so jetzt mache ich eine Fallunterscheidung:
sei |x|>1 dann ist die Potenzreihe <1 und damit divergent
sei|x|=1 dann geht die Potenzreihe gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und ist damit Konvergent
sei|x|<1 dann geht die Potenzreihe gegen 0 und soe Konvergiert auch
so weit so gut (hoffentlich)
Aber ist damit jetzt der Konvergenzradius [mm] |x|\le1 [/mm] ???
weil sonst wenn man ja nur [mm] a_n [/mm] betrachtet hat musste man noch den Kehrwert bilden... Muss man das hier nicht, weil man das x ja quasi schon auf die andere Seite geholt hat?
Ich hoffe das sind nicht allzu dumme Fragen....
Liebste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 19.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> Guten Morgen,
> Ich habe mir gerade nochmal alles durchgelesen und ich
> denke ich bin dem ganzen schon viel näher als zuvor.
> Trotzdem möchte ich es wirklich komplett verstanden haben.
> Also habe ich da snunr ichtig verstanden? Ich wende einfach
> auf die komplette Potenzreihe das Quotienten- oder
> Wurzelkriterium an und gucke dann, dass der ausdruck <1
> wird. <1 deswegen, weil wir wissen, dass eine Reihe dann
> konvergiert?!? diese Ungleichung stelle ich dann nach |x|
> um, damit ich weiss für welche |x| die reihe konvergiert?
>
Genau, du verwendest im Prinzip die ganzen alten Sachen, die du schon für "normale" Reihen ohne x verwendet hast. Der Limes muss dann <1 sein, damit die Reihe nach Quotienten- bzw. Wurzelkriterium konvergiert.
Und weil die Frage ja immer lautet "Wie lautet der Konvergenzradius?" oder "Für welche x konvergiert die Reihe?" musst du das dann nach |x| umstellen.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(2n+1)*x^2}{2n+3}|<1\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(2n+1)}{(2n+3)}|*|x^2|<1\gdw |x^2|<1 \gdw |x|<\wurzel{1}\gdw[/mm]
> |x|<1
> Ist wa ao jetzt richtig? Jetzt habe ich ja schon sofort
> den Konvergenzradius. Aber bei anderen Aufgaben müsste man
> doch eigentlich noch den Rand untersuchen... Ich glaube so
> ganz schlüssig ist mir das doch noch nicht alles.
>
Ja, also das Ergebnis, dass |x|<1 sein muss, damit die Reihe konvergiert, heißt, dass der Konvergenzradius dann 1 ist. Wenn da aber nicht extra steht, dass der Rand zu untersuchen ist, brauchst du das nicht machen. Eine Reihe hat den Konvergenzradius r, wenn sie für |x|<r konvergiert. Du kannst ja vielleicht nochmal in deine Definition vom Konvergenzradius hören, aber da steht sicher auch, dass die Ränder egal sind. Hauptsache für |x|<r ist die Reihe konvergent.
> so und nun zu dem anderen Beispiel:
> Wurzelkriterium:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{x^(n!)}{3^n}|}<1 \gdw\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{|1|}}{\wurzel[n]{|3^n|}}*|x^{n!}|<1\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}*|x|^{(n-1)!}[/mm]
>
> so jetzt mache ich eine Fallunterscheidung:
> sei |x|>1 dann ist die Potenzreihe <1 und damit divergent
> sei|x|=1 dann geht die Potenzreihe gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und
> ist damit Konvergent
> sei|x|<1 dann geht die Potenzreihe gegen 0 und soe
> Konvergiert auch
>
> so weit so gut (hoffentlich)
> Aber ist damit jetzt der Konvergenzradius [mm]|x|\le1[/mm] ???
>
Genau, hier ist der Konvergenzradius 1. Hier gehören sogar noch 1 und -1 dazu, wie du rausgefunden hast. Aber selbst, wenn es für |x|=1 divergent gewesen wäre, wäre der Konvergenzradius 1 gewesen.
> weil sonst wenn man ja nur [mm]a_n[/mm] betrachtet hat musste man
> noch den Kehrwert bilden... Muss man das hier nicht, weil
> man das x ja quasi schon auf die andere Seite geholt hat?
>
Ja. Diese vorgefertigten Formeln für den Konvergenzradius (z.B. die Cauchy-Hadamard-Formel) sind eigentlich nur Quotienten- und Wurzelkriterium auf die Reihe angewendet und umgestellt. Du kannst ja mal [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] hernehmen und darauf die 2 Kriterien anwenden und nach |x| umstellen. Dann solltest du die vorgefertigten Formel, die du vielleicht kennst, erhalten.
> Ich hoffe das sind nicht allzu dumme Fragen....
Ach was. Ist doch schön, wenn du dich interessierst!
Lies dir auch vielleicht nochmal das hier durch: ![[]](/images/popup.gif) Klick.
> Liebste Grüße
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Teufel
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