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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius cos
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Konvergenzradius cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Fr 12.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

ich möchte zeigen, dass cos < r ist, cos x := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^(2n)}{(2n)!} [/mm]

Dazu dachte ich, dass ich mittels des Quotientenkriteriums zeige, dass der Konvergenzradius r = [mm] \infty [/mm] ist.
Also  [mm] \bruch{x^{2(n+1)} (2n)!}{2(n+1))! x^{2n}}=\bruch{x^2 (2n)!}{(2n+2)!} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{(2n+2)(2n+1)} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm]

Und somit ist r = [mm] \infty [/mm]
Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos < r.

Lieg ich total falsch?

Danke,
Anna

        
Bezug
Konvergenzradius cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 12.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Anna-Lyse,

> Hallo,
>  
> ich möchte zeigen, dass cos < r ist, cos x :=
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^(2n)}{(2n)!}[/mm]
>  
> Dazu dachte ich, dass ich mittels des Quotientenkriteriums
> zeige, dass der Konvergenzradius r = [mm]\infty[/mm] ist.
>  Also  [mm] $\bruch{x^{2(n+1)} (2n)!}{\red{(}2(n+1))! x^{2n}}=\bruch{x^2 (2n)!}{(2n+2)!}$ [/mm]
> = [mm]\bruch{x^2}{(2n+2)(2n+1)} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>  
> Und somit ist r = [mm]\infty[/mm] [ok]
>  Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos < r.

??? Was soll das bedeuten?

>  
> Lieg ich total falsch?
>  
> Danke,
>  Anna


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Fr 12.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo schachuzipus,

DANKE für Deine Antwort.

>  >  Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos <
> r.
>  
> ??? Was soll das bedeuten?

Ich wollte damit sagen: Da cos x [mm] \le [/mm] 1 für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist, ist cos < r

Gruß,
Anna

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 12.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo schachuzipus,
>  
> DANKE für Deine Antwort.
>  
> >  >  Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos <

> > r.
>  >  
> > ??? Was soll das bedeuten?
>  
> Ich wollte damit sagen: Da cos x [mm]\le[/mm] 1 für alle x [mm]\in \IR[/mm] ist, ist [mm] \red{cos < r} [/mm]

Ich weiß immer noch nicht, was du mit dem roten Text da aussagen willst, was ist cos?


>  
> Gruß,
>  Anna

LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Fr 12.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo schachuzipus,

> > >  >  Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos <

> > > r.
>  >  >  
> > > ??? Was soll das bedeuten?
>  >  
> > Ich wollte damit sagen: Da cos x [mm]\le[/mm] 1 für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> ist, ist [mm]\red{cos < r}[/mm]
>  
> Ich weiß immer noch nicht, was du mit dem roten Text da
> aussagen willst, was ist cos?

Der Kosinus.

Gruß,
Anna

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Fr 12.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo schachuzipus,
>  
> > > >  >  Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos <

> > > > r.
>  >  >  >  
> > > > ??? Was soll das bedeuten?
>  >  >  
> > > Ich wollte damit sagen: Da cos x [mm]\le[/mm] 1 für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> > ist, ist [mm]\red{cos < r}[/mm]
>  >  
> > Ich weiß immer noch nicht, was du mit dem roten Text da
> > aussagen willst, was ist cos?
>  
> Der Kosinus.

Aber cos ist so leerstehend nur eine Bezeichnung, cos<r hat überhaupt keine Bedeutung!!

Meinst du etwa [mm] $\cos\red{(x)}
Dann stimmt es. Bleibt die Frage, was diese Angabe nützen sollte ...


>  
> Gruß,
>  Anna

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Fr 12.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo schachuzipus,
  

> > > > >  >  Und cos hat den Wertebereich [-1,1], daher ist cos <

> > > > > r.
>  >  >  >  >  
> > > > > ??? Was soll das bedeuten?
>  >  >  >  
> > > > Ich wollte damit sagen: Da cos x [mm]\le[/mm] 1 für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> > > ist, ist [mm]\red{cos < r}[/mm]
>  >  >  
> > > Ich weiß immer noch nicht, was du mit dem roten Text da
> > > aussagen willst, was ist cos?
>  >  
> > Der Kosinus.
>  
> Aber cos ist so leerstehend nur eine Bezeichnung, cos<r hat
> überhaupt keine Bedeutung!!
>  
> Meinst du etwa [mm]\cos\red{(x)}
> ?

Ja, so war es gemeint. Ich habe das aus einer Beispielprüfungsfrage, da stand es eher "stümperhaft", aber ich gehe davon aus, dass das genau so gemeint ist.

> Dann stimmt es. Bleibt die Frage, was diese Angabe nützen
> sollte ...

  
Gute Frage. Vielleicht um zu zeigen, dass man den Konvergenzradius ausrechnen kann, oder warum vielleicht cos x [mm] \le [/mm] 1 für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt? Keine Ahnung was der genaue Grund war.

Aber zumindest lag ich ja nicht so verkehrt. Danke! :-)

Gruß,
Anna

Bezug
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