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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 24.10.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius:
[mm]\summe_{n=1}^{unendlich} \bruch{n+2}{2^n}x^n[/mm] |
Mein Versuch sieht soweit ganz gut aus, aber ich kann nicht die allerletzte Umformung ist zwar gefühlt richtig, weil die konstante vernachlässigbar wird, aber ich kann es nicht mathematisch begründen :-( Kann mir jamand einen Tipp geben?
Konvergenzbeweis per Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[n]{ | \bruch{n+2}{2^n}x^n | } = \bruch{x}{2} \wurzel[n]{1+\bruch{2}{n}} [/mm] für n->unendlich [mm] = \bruch{x}{2} [/mm]
weil der Bruch gegen 0 geht und Wurzel von 1 gleich 1.
Ist so eine Verschachtelung von Grenzwerten zulässig?
Viele Grüße Philipp
Konvergenzradius wäre dann |x|<2
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Hallo Philipp,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n+2}{2^n}x^n[/mm]
Das unendlich Zeichen ist \infty : [mm]\infty[/mm]
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> Mein Versuch sieht soweit ganz gut aus, aber ich kann nicht
> die allerletzte Umformung ist zwar gefühlt richtig, weil
> die konstante vernachlässigbar wird, aber ich kann es
> nicht mathematisch begründen :-( Kann mir jamand einen
> Tipp geben?
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> Konvergenzbeweis per Wurzelkriterium:
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> [mm]\wurzel[n]{ | \bruch{n+2}{2^n}x^n | } = \bruch{x}{2} \wurzel[n]{1+\bruch{2}{n}}[/mm]
Wie kommst du auf den Wurzelausdruck?
Es ist doch [mm]\sqrt[n]{\left|\frac{n+2}{2^n}x^n\right|}=\frac{|x|}{2}\cdot{}\sqrt[n]{n+2}[/mm]
> für n->unendlich [mm]= \bruch{x}{2}[/mm] (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
Beachte, dass da [mm]|x|[/mm] stehen muss!
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> weil der Bruch gegen 0 geht und Wurzel von 1 gleich 1.
> Ist so eine Verschachtelung von Grenzwerten zulässig?
Das wäre es, aber der Bruch ist falsch, wieder umgerechnet steht da [mm]1+\frac{2}{n}=\frac{n+2}{n}[/mm]
Woher du das n im Nenner hast, ist mir schleierhaft.
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> Viele Grüße Philipp
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> Konvergenzradius wäre dann |x|<2
Naja, das ist unglücklich formuliert, der K.radius ist eine nicht-negative ZAHL (oder [mm]\infty[/mm])[mm][/mm] ,also besser: Konvergenzradius ist [mm]\rho=2[/mm]
Damit Konvergenz für [mm]|x|<\rho=2[/mm]
Nebenbei bemerkt gibt es doch für Potenzreihen das Kriterium von Cauchy-Hadamard, da musst du das x nicht mitschleifen ...
Gruß
schachuzipus
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