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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 18.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch ein Beispiel, das ich nicht ganz verstehe:
[mm] f_n(x)=sin(x)^n [/mm] auf [mm] [0,\pi]
[/mm]
[mm] f_n(x) \to [/mm] f(x)= 1, für [mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
= 0, sonst
Nun soll nach dem Lebesgue'schen Konvergenzsatz gelten:
[mm] \rightarrow \limes_{n\Rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi} {sin(x)^n dx}=0
[/mm]
und das sehe ich irgendwie nicht.
Es gilt ja:
[mm] |f_n| \le [/mm] 1, das wäre doch dann die für diesen Satz nötige integrierbare Funktion (also die 1) und dann würde nach dem Satz gelten:
[mm] \integral{f_n d\mu}\to\integral{f d\mu}
[/mm]
Aber wieso ist denn [mm] \integral{f d\mu}=0? [/mm] Könnte es nicht auch 1 sein oder so?
Naja, vielleicht weiß ja jemand bescheid...
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 18.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Super, dass du jetzt Beispiele durcharbeitest!!!! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Hier noch ein Beispiel, das ich nicht ganz verstehe:
> [mm]f_n(x)=sin(x)^n[/mm] auf [mm][0,\pi]
[/mm]
> [mm]f_n(x) \to[/mm] f(x)= 1, für [mm]x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
> = 0, sonst
>
> Nun soll nach dem Lebesgue'schen Konvergenzsatz gelten:
> [mm]\rightarrow \limes_{n\Rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi} {sin(x)^n dx}=0
[/mm]
>
> und das sehe ich irgendwie nicht.
> Es gilt ja:
> [mm]|f_n| \le[/mm] 1, das wäre doch dann die für diesen Satz nötige
> integrierbare Funktion (also die 1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
und dann würde nach dem
> Satz gelten:
> [mm]\integral{f_n d\mu}\to\integral{f d\mu}
[/mm]
> Aber wieso ist
> denn [mm]\integral{f d\mu}=0?[/mm] Könnte es nicht auch 1 sein oder
> so?
Schau dir die Funktion $f$ mal ganz genau an. Sie ist ja fast überall gleich $0$, nur an einem einzigen, klitzekleinen Punkt nicht, nämlich an der Stelle $x = [mm] \frac{\pi}{2}$. [/mm] Aber einzelne Punkte sind in der Lebesgue-Welt unvorstellbar klein. So klein, dass sie das Lebesgue-Maß $0$ haben. Mit anderen Worten:
Es gilt:
$ f = 0$ [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher.
Sprich: Außerhalb einer Lebesgue-Nullmenge (nämlich außerhalb des Punktes) verschwindet die Funktion (sie haut nicht ab  , sondern ist gleich $0$).
Und für eine Funktion
$f = 0$ [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher
gilt:
[mm] $\int f\, d\mu [/mm] = 0$.
Allgemein gilt für zwei Funktionen $f$ und $g$, die [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher gleich sind:
[mm] $\int f\, d\mu [/mm] = [mm] \int g\, d\mu$.
[/mm]
Das Integral bügelt also alles platt, was sich auf Nullmengen abspielt. Nullmengen haben keine Chance beim Integral berücksichtigt zu werden. Und einzelnen Punkte sind nun mal Lebesgue-Nullmengen.
Warum?
Nun, es gilt für einen Punkt [mm] $x_0$:
[/mm]
[mm] $\{x_0\} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} (x_0 [/mm] - [mm] \frac{1}{n}, x_0 [/mm] + [mm] \frac{1}{n})$
[/mm]
und daher:
[mm] $\mu(\{x_0\}) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \mu [/mm] ( [mm] (x_0 [/mm] - [mm] \frac{1}{n}, x_0 [/mm] + [mm] \frac{1}{n})) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} [/mm] = 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Do 18.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Super, dass du jetzt Beispiele durcharbeitest!!!!
Ja, das sind die Beispiele aus der Vorlesung. Es ist ja nicht so, dass ich nur Aufgaben mache, aber oft sind die halt vorrangig. Aber in Ana versuche ich eigentlich immer, mir die Sachen aus der Vorlesung mal anzugucken, obwohl ich dann trotzdem nicht alles verstehe. Aber ein paar Sachen schreibe ich auch raus, dann finde ich sie später schneller...
> > Aber wieso ist
> > denn [mm]\integral{f d\mu}=0?[/mm] Könnte es nicht auch 1 sein
> oder
> > so?
>
> Schau dir die Funktion [mm]f[/mm] mal ganz genau an. Sie ist ja fast
> überall gleich [mm]0[/mm], nur an einem einzigen, klitzekleinen
> Punkt nicht, nämlich an der Stelle [mm]x = \frac{\pi}{2}[/mm]. Aber
> einzelne Punkte sind in der Lebesgue-Welt unvorstellbar
> klein. So klein, dass sie das Lebesgue-Maß [mm]0[/mm] haben. Mit
> anderen Worten:
Ja, eigentlich hätte das schon gereicht. Ich weiß gar nicht, wieso ich das nicht gesehen habe, habe wohl nicht gemerkt, dass es nur für einen einzelnen Punkt [mm] \not= [/mm] 0 ist...
>
> Es gilt:
>
> [mm]f = 0[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast sicher.
>
> Sprich: Außerhalb einer Lebesgue-Nullmenge (nämlich
> außerhalb des Punktes) verschwindet die Funktion (sie haut
> nicht ab , sondern ist gleich [mm]0[/mm]).
Lustiger Kommentar! *lol*
> Und für eine Funktion
>
> [mm]f = 0[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast sicher
>
> gilt:
>
> [mm]\int f\, d\mu = 0[/mm].
Ja, das hätte ich glaube ich auch gewusst.
> Allgemein gilt für zwei Funktionen [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm], die [mm]\mu[/mm]-fast
> sicher gleich sind:
>
> [mm]\int f\, d\mu = \int g\, d\mu[/mm].
>
> Das Integral bügelt also alles platt, was sich auf
> Nullmengen abspielt. Nullmengen haben keine Chance beim
> Integral berücksichtigt zu werden. Und einzelnen Punkte
> sind nun mal Lebesgue-Nullmengen.
Schöne Formulierung - so kann ich mir das bestimmt merken! 
>
> Warum?
>
> Nun, es gilt für einen Punkt [mm]x_0[/mm]:
>
> [mm]\{x_0\} = \bigcap_{n \in \IN} (x_0 - \frac{1}{n}, x_0 + \frac{1}{n})[/mm]
>
>
> und daher:
>
> [mm]\mu(\{x_0\}) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu ( (x_0 - \frac{1}{n}, x_0 + \frac{1}{n})) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0[/mm].
Ja, das hatten wir glaube ich auch schon gezeigt.
Übrigens habe ich auch alle deine anderen Antworten gelesen, und bei manchen werde ich vielleicht auch noch "antworten", aber alles der Reihe nach...
Nur, damit du dich nicht wunderst, wo du dir ja immer so viel Mühe gibst mit den Antworten!
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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