Konvergenzsätze und Folgen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 25.09.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Betrachten Sie für jeden der folgenden vier Fälle die Folge [mm] (f_{n})n \in [/mm] N. Bestimmen Sie die punktweisen
Grenzwerte f(x) := lim n→∞ [mm] f_{n}(x) [/mm] fur alle x ∈ [0, 1].
Berechnen [mm] Sie\integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx} [/mm] für alle n ∈ N. Welche Konvergenzsätze (vgl. Aufgabe 2)
lassen sich anwenden und warum (beziehungsweise warum nicht)?
a) [mm] f_{n}(x)= \begin{cases} n, & \mbox{für } 0 \le x \le 1/n \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
b) [mm] f_{n}(x)= [/mm] x^(1/n)
c) [mm] f_{n}(x)=(-x)^n
[/mm]
d) [mm] f_{n}(x)= n^2x^n(1-x) [/mm] |
a) f(0)= [mm] \infty [/mm] und f(x)= 0 für x [mm] \in [/mm] ]0,1]. Also ist [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0= \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{f_{n}(x)}. [/mm] Der Satz von der monotonen Konvergenz ist also erfüllt.
b) f(0)=0 und f(x)=1 für x [mm] \in [/mm] ]0,1]. [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0\not=\limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} {f_{n}(x)}=1. [/mm] Also stimmt der Satz von der m. Konvergenz hier nicht und zwar weil [mm] f_{n} [/mm] nicht überall monoton fallend gegen eine Funktion konvergiert, da ja f(0)=0? Aber würde dies dann nicht auch unter a) gelten?
c) f(1)= [mm] \pm [/mm] 1 und f(x)= 0 für x [mm] \in [/mm] [0,1[. m. Konvergenz und Lemma von Fatou können nicht angewendet werden, weil nicht nichtnegativ. [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0 \not=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx}= \pm [/mm] 1
d) f(x)=0. [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx}.
[/mm]
Satz von der m. Konvergenz und der dominierten Konvergenz sind anwendbar.
Geht das so ungefähr in die richtige Richtung?
Danke schonmal!
|
|
| |
|
Hiho,
> a) f(0)= [mm]\infty[/mm] und f(x)= 0 für x [mm]\in[/mm] ]0,1].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0
[ok]
> 0=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm][mm] \integral_{0}^{1}{f_{n}(x)}
[/mm]
Hast du den Grenzwert mal wirklich ausgerechnet?
Anscheinend nicht.....
> Der Satz von der monotonen Konvergenz ist also erfüllt.
Das stimmt auch nicht.
Selbst wenn die Gleichheit gelten würde (was sie nicht tut), kannst du den Satz noch lange nicht anwenden, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
Welche sind das und welche sind erfüllt, welche nicht?
> b) f(0)=0 und f(x)=1 für x [mm]\in[/mm] ]0,1].
> [mm][mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0
[/mm]
Das ist auch falsch.... rechnest du die überhaupt wirklich aus oder schreibst du nur das hin, was dir gerade einfällt?
Wie kann denn eine Funktion, die fast sicher 1 ist, ein Integral vom Wert 0 liefern?????
> Also stimmt der Satz von der m. Konvergenz hier nicht und zwar weil [mm]f_{n}[/mm] nicht überall monoton fallend gegen eine Funktion konvergiert
Mei mei mei, seit wann haben wir es beim Satz über monotone Konvergenz mit monoton fallenden Folgen zu tun???
> Aber würde dies dann nicht auch unter a) gelten?
Ah, wodurch die Antwort von vorher falsch wäre. Gut erkannt......
> c) f(1)= [mm]\pm[/mm] 1
Was ist denn f(1) nun? Beides geht ja wohl schlecht. Da muss es doch beim Aufschreiben schon weh tun.....
> und f(x)= 0 für x [mm]\in[/mm] [0,1[.
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=0 \not=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx}= \pm[/mm] 1
Auch hier: Hast du die Integrale mal sauber durchgerechnet????
Bei der d) ebenso.
> Satz von der m. Konvergenz und der dominierten Konvergenz sind anwendbar.
Na das belege mal....
Auch hier: Was sind die Voraussetzungen und welche sind davon erfüllt und welche nicht?
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
