Konvergenzuntersuchung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 18.09.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz, absolute Konvergenz und Divergenz.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n})
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)} [/mm] |
Liebe Mathematiker,
ich habe die Aufgaben bearbeitet, jedoch bin ich mir nicht sicher ob das stimmt. Also bitte korrigieren, falls Ihr fehler entdeckt.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n})
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*\wurzel{n}})
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
Wir haben eine monoton fallende, alternierende Nullfolge. Richtig?
Sie konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n [/mm]
Das ist doch eine geometrische Reihe vom Typ: [mm] q^n [/mm] ?
Hier habe ich erstmal "n" ausgeklammert:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n*1}{n(3+\bruch{2}{n})})^n [/mm]
Hier sieht man schon, dass [mm] \bruch{2}{n} [/mm] gegen Null geht und somit weg fällt. (Darf man es einfach so streichen und weiterrechnen?)
nach dem Kürzen erhalte ich [mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n})^n \Rightarrow (\bruch{1}{3})^n
[/mm]
|q| < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] somit konvergiert die Reihe gegen [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}} [/mm]
c) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)} [/mm]
Hier wende ich L'hospital an:
[mm] \Rightarrow \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{n}}}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n}{2\wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{2}
[/mm]
für [mm] n->\infty [/mm] erhalte ich [mm] \bruch{\infty}{2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Somit ist die Reihe divergent!
Danke schonmal für eure Hilfe!
LG ATDT
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> Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz, absolute
> Konvergenz und Divergenz.
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n})[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
> Liebe
> Mathematiker,
>
Hallo,
> ich habe die Aufgaben bearbeitet, jedoch bin ich mir nicht
> sicher ob das stimmt. Also bitte korrigieren, falls Ihr
> fehler entdeckt.
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n})[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*\wurzel{n}})[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm]
> Wir haben eine monoton fallende, alternierende Nullfolge.
> Richtig?
> Sie konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm]
> Das ist doch eine geometrische Reihe vom Typ: [mm]q^n[/mm] ?
Nein, das q darf natürlich nicht von n abhängen!!!
Verwende hier lieber das Wurzelkriterium.
> Hier habe ich erstmal "n" ausgeklammert:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n*1}{n(3+\bruch{2}{n})})^n[/mm]
> Hier sieht man schon, dass [mm]\bruch{2}{n}[/mm] gegen Null geht und
> somit weg fällt. (Darf man es einfach so streichen und
> weiterrechnen?)
> nach dem Kürzen erhalte ich [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n})^n \Rightarrow (\bruch{1}{3})^n[/mm]
>
> |q| < 1 [mm]\Rightarrow[/mm] somit konvergiert die Reihe gegen
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
> Hier wende ich L'hospital an:
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{n}}}{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n}{2\wurzel{n}}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{2}[/mm]
> für [mm]n->\infty[/mm]
> erhalte ich [mm]\bruch{\infty}{2}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Somit ist die Reihe divergent!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du solltest hier aber dann einzeln die Folge [mm] a_n=\sqrt{n}/\ln(n) [/mm] betrachten. Die Summenschreibweise so ist Unsinn.
>
> Danke schonmal für eure Hilfe!
> LG ATDT
Was ist mit der absoluten Konvergenz?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 18.09.2010 | | Autor: | ATDT |
>
> Was ist mit der absoluten Konvergenz?
>
> Gruß Patrick
Hallo Patrick,
danke erstmal! a) müsste absolut konvergent sein. Denn der Betrag der Folge [mm] a_{n} [/mm] ist immer null... richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo ATDT!
> a) müsste absolut konvergent sein. Denn der
> Betrag der Folge [mm]a_{n}[/mm] ist immer null... richtig?
Nein, das ist nicht richtig. Die Folge [mm]a_n[/mm] sieht ja so aus: [mm]a_n=(-1)^n\cdot\frac{\sqrt{n}}{n}[/mm], der Betrag davon ist [mm]|a_n|=\frac{\sqrt{n}}{n}[/mm], du musst also die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n}[/mm] noch auf Konvergenz untersuchen. (Tipp: Minorantenkriterium!)
Grüße Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Di 21.09.2010 | | Autor: | ATDT |
Hi Eliza,
danke...
die Reihe ist divergent nach dem Minorantenkriterium:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \ge \bruch{1}{n}
[/mm]
gruß atdt
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Hallo ATDT!
Genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 21.09.2010 | | Autor: | ATDT |
> > Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz, absolute
> > Konvergenz und Divergenz.
> >
> > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n})[/mm]
> > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm]
> > c)
> > [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
> > Liebe
> > Mathematiker,
> >
>
> > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm]
> > Das ist doch eine geometrische Reihe vom Typ: [mm]q^n[/mm] ?
>
> Nein, das q darf natürlich nicht von n abhängen!!!
> Verwende hier lieber das Wurzelkriterium.
>
ok auf ein neues...
Dann benutze ich das Wurzelkriterium:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^n}{(3n+2)^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel[n]{n^n}}{\wurzel[n]{(3n+2)^n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n}{3n+2} [/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n}{3n+2} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{n}{n}}{3+\bruch{2}{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{3+\bruch{2}{n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3+\bruch{2}{n}} \Rightarrow \bruch{1}{3+0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Die Reihe konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Richtig?
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Hallo ATDT,
> > > Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz, absolute
> > > Konvergenz und Divergenz.
> > >
> > > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n})[/mm]
> > > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm]
> > >
> c)
> > > [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
> > >
> Liebe
> > > Mathematiker,
> > >
> >
>
> > > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm]
> > > Das ist doch eine geometrische Reihe vom Typ: [mm]q^n[/mm] ?
> >
> > Nein, das q darf natürlich nicht von n abhängen!!!
> > Verwende hier lieber das Wurzelkriterium.
> >
>
> ok auf ein neues...
> Dann benutze ich das Wurzelkriterium:
Das ist eine gute Idee!
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{3n+2})^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^n}{(3n+2)^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel[n]{n^n}}{\wurzel[n]{(3n+2)^n}}[/mm] ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Wie lautet denn das WK??
Wenn du eine Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] hast, berechnest du den [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}[/mm]
Da hat die n-te Wurzel nichts, aber auch gar nichts in der Reihe verloren.
Das [mm]a_n[/mm] ist hier [mm]\left(\frac{n}{3n+2}\right)^n[/mm]
Wenn du in der weiteren Rechnung mal das Summenzeichen weglässt, sind deine Rechnungen in Ordnung, es ergibt sich als GW [mm]\frac{1}{3}[/mm]
Das ist [mm]< 1[/mm], also liegt gem. WK (absolute) Konvergenz vor!
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n}{3n+2}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n}{3n+2}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{n}{n}}{3+\bruch{2}{n}}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{3+\bruch{2}{n}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3+\bruch{2}{n}} \Rightarrow \bruch{1}{3+0}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Die Reihe konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Nein!!!
Oh weh!
Der GW, den du mittels QK oder WK errechnest, sagt dir (sofern er nicht gerade 1 ist) lediglich etwas darüber aus, ob die Reihe konvergiert oder nicht.
Über den Reihenwert sagt dir das aber nix, einfach gar nix!
> Richtig?
Nein, sehr falsch.
Wie lautet denn das Kriterium?
Steht da bei euch irgendwas über den Wert der Reihe drin???
Poste mal den Wortlaut, den ihr zum WK aufgeschrieben habt!
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Di 21.09.2010 | | Autor: | fred97 |
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> c) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
> Hier wende ich L'hospital an:
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{n}}}{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n}{2\wurzel{n}}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{\wurzel{n}}{2}[/mm]
> für [mm]n->\infty[/mm]
> erhalte ich [mm]\bruch{\infty}{2}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Somit ist die Reihe divergent!
Das ist kompletter Unfug und eine Vergewaltigung der Mathematik.
Mach es so: zeige mit L'Hospital: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}}{ln(x)}= \infty
[/mm]
Es folgt: die Folge [mm] (\bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}) [/mm] ist keine Nullfolge. Damit ist die vorgelegte Reihe divergent
Weiter Möglichkeit: wegen [mm] e^x [/mm] >1+x>x für x>0 ist [mm] n
[mm] $\bruch{\wurzel{n}}{ln(n)}> 1/\wurzel{n}$
[/mm]
Nach dem Minorantenkriterium ist die vorgelegte Reihe divergent
FRED
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> Danke schonmal für eure Hilfe!
> LG ATDT
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