www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzverhalten
Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 So 17.03.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf ihr Konvergenzverhalten: mit Hilfe des a) Quotienten- b) Wurzel- c) Majorantenkriteriums.


[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n}=\begin{cases} 3^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 5^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

a) mittels Quotientenkriteriums:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n} [/mm] => q= [mm] \bruch{1}{5} [/mm]

[mm] \bruch{1}{5}*\bruch{5}{4} [/mm]  => [mm] \bruch{1}{4}<1 [/mm] Reihe konvergiert

a) mittels Wurzelkriteriums:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n} [/mm]  

[mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{5}} [/mm] => q= [mm] \bruch{1}{5} [/mm]

[mm] \bruch{1}{5}<1 [/mm] Reihe konvergiert

a) mittels Majorantenkriteriums:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm]  

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} [/mm]

[mm] a_{n} [/mm]  = [mm] \bruch{1}{5} [/mm]

[mm] b_{n} [/mm] = 1

[mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] |b_{n}| [/mm] => [mm] \bruch{1}{5}<1 [/mm] Reihe konvergiert

Guten Tag,

Frage 1 habe ich die Aufgabe bis hier hin richtig gelöst?
Frage 2 kann ich mir für n=gerade eine Zahl aussuchen z.B. die Zahl 2?

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

        
Bezug
Konvergenzverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 17.03.2013
Autor: Marcel

Hallo JamesDean,

> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf ihr
> Konvergenzverhalten: mit Hilfe des a) Quotienten- b)
> Wurzel- c) Majorantenkriteriums.
>  
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] mit [mm]a_{n}=\begin{cases} 3^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 5^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
> a) mittels Quotientenkriteriums:
>   [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n}[/mm] => q= [mm]\bruch{1}{5}[/mm]

>  
> [mm]\bruch{1}{5}*\bruch{5}{4}[/mm]  => [mm]\bruch{1}{4}<1[/mm] Reihe
> konvergiert

es geht doch eigentlich darum, [mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|$ [/mm] und [mm] $\liminf |a_{n+1}/a_n|$ [/mm]
zu bestimmen.
Falls [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist, so ist
[mm] $$|a_{n+1}/a_n|=\frac{5^{-(n+1)}}{3^{-n}}=\frac{1}{5}*\left(\frac{3}{5}\right)^n\,.$$ [/mm]
Falls [mm] $n\,$ [/mm] ungerade ist, so ist
[mm] $$|a_{n+1}/a_n|=\frac{3^{-(n+1)}}{5^{-n}}=\frac{1}{3}*\left(\frac{5}{3}\right)^n\,.$$ [/mm]

Daraus folgt, dass mithilfe des Quotientenkritierums - sofern man es direkt
auf die Ausgangsreihe anwendet - hier erstmal keine Aussage möglich ist:
Denn aus den obigen Überlegungen folgt offenbar
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|=\infty \ge [/mm] 1$$
und
[mm] $$\liminf_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|=0 \le 1\,.$$ [/mm]

Angemerkt sei aber: Zerlegt man die Reihe so, wie ich es am Ende des
Artikels stehen habe, so könnte man das QK erfolgreich auf jede der
beiden Reihen anwenden - d.h. Deine obige Reihe kann man als Summe
zweier konvergenter Reihen schreiben, damit konvergiert sie. Nur: Der
Aufgabensteller hat gefordert, das QK DIREKT auf die gegebene Reihe
anzuwenden. Dann ist es erfolglos!!

> a) mittels Wurzelkriteriums:

Sollte das nun nicht "b)" heißen?

>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n}[/mm]  
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{5}}[/mm] => q= [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{5}<1[/mm] Reihe konvergiert

Na, es ist für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] doch [mm] $\sqrt[n]{|a_n|} \in \{1/3,\;1/5\}\,.$ [/mm]
Damit ist
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\max\{1/3,\;1/5\}=1/3\,.$$ [/mm]
Das zeigt die Konvergenz der Reihe wegen $0 [mm] \le [/mm] 1/3 < [mm] 1\,$! [/mm]

Dein [mm] $q=1/5\,$ [/mm] ist nicht das passende Argument - zumal man nicht erkennt,
was das [mm] $q\,$ [/mm] eigentlich sein soll bzw. welche Rolle es spielt!
  

> a) mittels Majorantenkriteriums:

Sollte das hier nicht "c)" sein?
  

> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]  
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}[/mm]
>  
> [mm]a_{n}[/mm]  = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>  
> [mm]b_{n}[/mm] = 1
>  
> [mm]|a_{n}|[/mm] < [mm]|b_{n}|[/mm] => [mm]\bruch{1}{5}<1[/mm] Reihe konvergiert

Was machst Du hier eigentlich? Das Majorantenkriterium geht hier viel
einfacher:
Für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt $0 [mm] \le a_n \le 3^{-n}\,.$ [/mm] Also ist
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n \le \sum_{n=\red{1}}^\infty 3^{-n} \le \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n\,.$$ [/mm]

Rechts steht eine konvergente Majorante (siehe geometrische Reihe).

> Frage 2 kann ich mir für n=gerade eine Zahl aussuchen z.B. die Zahl 2?

Was ist der Sinn dieser Frage???


Nebenbei, was man bei der Aufgabe machen könnte:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_n=\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}+\sum_{\ell=1}^\infty a_{2\ell}\,,$$ [/mm]
wenn man begründet, dass die beiden Reihen rechterhand konvergieren.

Die Konvergenz von etwa
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}=\sum_{k=1}^\infty 5^{-(2k-1)}=5*\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{25}\right)^k$$ [/mm]
ist aber leicht einzusehen - mit dem WK ist man direkt fertig, und auch das
QK führt zum Ziel. Aber noch besser ist es, wenn man direkt die
geometrische Reihe in dieser letzten Darstellung erkennt. Damit kann man
auch den Reihenwert angeben. Außerdem folgt das WK etwa unter
Verwendung der geometrischen Reihe - schau' Dir mal den Beweis dazu an!

Analog erkennt man auch die Konvergenz von
[mm] $$\sum_{\ell=1}^\infty a_{2\ell}=\sum_{\ell=1}^\infty 3^{-2\ell}=\sum_{\ell=1}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^\ell$$ [/mm]
bzw. kann auch hier den Reihenwert angeben. (Beachte, dass bei den
geometrischen Reihen der Index bei [mm] $1\,$ [/mm] und nicht bei [mm] $0\,$ [/mm] startet. Und
schau mal nach, ob bei Deiner Ausgangsreihe vielleicht nicht
[mm] $$\sum_{n=\red{1}}^\infty a_n\,,$$ [/mm]
sondern
[mm] $$\sum_{n=\text{\blue{0}}}^\infty a_n$$ [/mm]
steht. Das ändert dann zwar nichts am Konvergenzverhalten, wohl aber
am Wert der Reihe!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Konvergenzverhalten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 So 17.03.2013
Autor: JamesDean

Recht herzlichen Dank Marcel für deine sehr gute Erklärung!!!


Mit freundlichen Grüßen

J.DEan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de