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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergieren, divergieren?
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Konvergieren, divergieren?: Stimmt das so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Di 28.11.2006
Autor: gore

Eine simple Frage: Stimmt es, dass wenn eine Reihe konvergiert, dass Sie dann einen festen Wert als Limes hat.
Also kann eine konvergente Folge nicht den Limes [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] haben? Folgen, die gegen [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] gehen, divergieren?
Beispiel: die Folge [mm] (n^k)_{n \in \IN} [/mm] , (k [mm] \in \IZ [/mm] fest) divergiert also gegen [mm] \infty, [/mm] ja?

Stimmt auch das:
die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] b_{n}=\bruch{1}{n^4}\summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] konvergiert gegen 0?
(Weil die höchste Potenz im Nenner auftaucht...)


        
Bezug
Konvergieren, divergieren?: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Di 28.11.2006
Autor: Loddar

Hallo gore!


> Eine simple Frage: Stimmt es, dass wenn eine Reihe
> konvergiert, dass Sie dann einen festen Wert als Limes hat.

[ok] Ja!


> Also kann eine konvergente Folge nicht den Limes [mm]\infty[/mm]
> oder [mm]-\infty[/mm] haben? Folgen, die gegen [mm]\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] gehen, divergieren?

[ok]


>  Beispiel: die Folge [mm](n^k)_{n \in \IN}[/mm] , (k [mm]\in \IZ[/mm] fest)
> divergiert also gegen [mm]\infty,[/mm] ja?

Aber nur für positives $k_$ Was ist mit $k \ = \ 0$ oder $k \ < \ 0$ ?



> Stimmt auch das:
> die Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]b_{n}=\bruch{1}{n^4}\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] konvergiert gegen 0?
>  (Weil die höchste Potenz im Nenner auftaucht...)

[notok] Für die Summe der Kubikzahlen gilt folgende []Formel :   [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2*(n+1)^2}{4}$ [/mm]

Was heißt das für die Gesamtfolge?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergieren, divergieren?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Di 28.11.2006
Autor: gore

Hi,
ok, danke schon mal. =)

> >  Beispiel: die Folge [mm](n^k)_{n \in \IN}[/mm] , (k [mm]\in \IZ[/mm] fest)

> > divergiert also gegen [mm]\infty,[/mm] ja?
>  
> Aber nur für positives [mm]k_[/mm] Was ist mit [mm]k \ = \ 0[/mm] oder [mm]k \ < \ 0[/mm]


für k=0 konvergiert die Folge gegen 1, für k<0 gegen 0, oder?


> > Stimmt auch das:
>  > die Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit

> [mm]b_{n}=\bruch{1}{n^4}\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] konvergiert gegen
> 0?
>  >  (Weil die höchste Potenz im Nenner auftaucht...)
>  
> [notok] Für die Summe der Kubikzahlen gilt folgende
> []Formel
> :   [mm]\summe_{k=1}^{n}k^3 \ = \ \bruch{n^2*(n+1)^2}{4}[/mm]
>  
> Was heißt das für die Gesamtfolge?

Ok, dann heißt das für die Folge:

[mm] \bruch{1}{n^4}\summe_{k=1}^{n}k^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^4}\ \bruch{n^2*(n+1)^2}{4}=\bruch{n^{4}+2*n^{3}+n^{2}}{4*n^{4}}=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2*n}+\bruch{1}{4*n^{2}}. [/mm]

Für den Limes gilt:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4}+\bruch{1}{2*n}+\bruch{1}{4*n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
...denn die beiden letzten Summanden gehen gegen 0.

Stimmt das so?
Bezug
                        
Bezug
Konvergieren, divergieren?: So stimmt's ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Di 28.11.2006
Autor: Loddar

Hallo gore!


[daumenhoch] !!!


Gruß
Loddar

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